上极限和下极限

序列${\displaystyle (x_{n})}$ 的上极限定义是

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\inf\{\,\sup\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}$ ；

或者

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)}$ 。

同样的，序列${\displaystyle x_{n}}$ 的下极限定义是

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\,\inf\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}$ ；

或者

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)}$ 。

这些定义在任意的偏序集都适用，只需要上确界和下确界存在。 在完全格里，上确界和下确界总是存在，所以其中的序列一定有上极限和下极限。

每当${\displaystyle \liminf x_{n}}$ 和${\displaystyle \limsup x_{n}}$ 都存在，那么

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$ 。

上极限和下极限也记为${\displaystyle \varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$ 和${\displaystyle \varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$ 。

实数集 R 的数列对微积分很重要。R 不是完备格，但可以加入正负无穷以得到完备全序集 ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ ，形成完备格。那么在 ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$  中数列 ${\displaystyle (x_{n})}$  收敛当且仅当 ${\displaystyle \liminf x_{n}=\limsup x_{n}}$ ，而这时 ${\displaystyle \lim x_{n}}$  等于上面的共同值。^{[注 2]}

若实数数列 ${\displaystyle (x_{n})}$  的上极限为实数^{[注 3]}，那么上极限是最小的实数 a，使得对任意小的正实数 ${\displaystyle \epsilon }$ ，都存在足够大的正整数 N，使得对所有 ${\displaystyle n\geq N}$ ，都有 ${\displaystyle x_{n}<a+\epsilon }$ 。换言之，对任何大于上极限的实数，都存在 N 使得这实数是数列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq N}}$  的上界。

若实数数列 ${\displaystyle (x_{n})}$  的下极限为实数，那么下极限是最大的实数 b，使得对任意小的正实数 ${\displaystyle \epsilon }$ ，都存在足够大的正整数 N，使得对所有 ${\displaystyle n\geq N}$ ，都有 ${\displaystyle x_{n}>b-\epsilon }$ 。换言之，对任何小于下极限的实数，都存在 N 使得这实数是数列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq N}}$ 的下界。

设 ${\displaystyle (x_{n})}$  是整数数列。若其上极限为实数 a，由于 ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$  也符合上述条件，故此 a 必是整数。^{[注 4]}在条件中取 ${\displaystyle \epsilon <1}$ ，得出 a 是最小的实数，使得存在正整数 N，对所有 ${\displaystyle n\geq N}$ ，都有 ${\displaystyle x_{n}\leq a}$ 。因此 a 是最大的整数，使得有无限个 ${\displaystyle x_{n}=a}$ 。同样地，若其下极限为实数 b，则 b 是最小的整数，使得有无限个 ${\displaystyle x_{n}=b}$ 。

若 ${\displaystyle I=\liminf x_{n}}$  和 ${\displaystyle S=\limsup x_{n}}$  ，那么区间 ${\displaystyle [I,S]}$  不一定包含任何的 ${\displaystyle x_{n}}$ ，但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε] 对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 x_n。区间 [I, S] 是适合这个性质的最小闭区间。

例子

• 设${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}$ ，则${\displaystyle \liminf x_{n}=-1}$ ，${\displaystyle \limsup x_{n}=1}$ 。闭区间[-1, 1]中不包含任何${\displaystyle x_{n}}$ 。
• 考虑数列${\displaystyle x_{n}=\sin \!n}$ 。应用π的无理数性质，可以证明${\displaystyle \liminf x_{n}=-1}$ 和${\displaystyle \limsup x_{n}=+1}$ 。^{[注 5]}

• 一个数论例子是

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})}$ 

其中${\displaystyle {p_{n}}}$ 是第${\displaystyle n}$ 个素数。^{[注 6]}

集合X的幂集P(X)是完备格。对于P(X)中的序列，也就是X的子集的序列，其上下极限也有用处。

若${\displaystyle X_{n}}$ 是这样的序列，那么X的元素a属于${\displaystyle \liminf X_{n}}$ ，当且仅当存在自然数${\displaystyle n_{0}}$ 使得对于所有${\displaystyle n>n_{0}}$ ，a在${\displaystyle X_{n}}$ 里。元素a属于${\displaystyle \limsup X_{n}}$ ，当且仅当对所有自然数${\displaystyle n_{0}}$ ，都存在一个指数${\displaystyle n>n_{0}}$ 使得a在${\displaystyle X_{n}}$ 里。换句话说，${\displaystyle \limsup X_{n}}$ 包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有无限多个n，使得它在集合${\displaystyle X_{n}}$ 里；而${\displaystyle \liminf X_{n}}$ 包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有除了有限多个外的所有n，使得它在${\displaystyle X_{n}}$ 里。

以集合论的标准语言来说，一个集合序列的下确界是这些集合的可数交，也就是包含在所有集合里的最大集合：

${\displaystyle \inf \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcap _{m=1}^{\infty }}X_{m}}$ 。

令${\displaystyle I_{n}}$ 为自${\displaystyle X_{n}}$ 起的集合的下确界。那么序列${\displaystyle I_{n}}$ 非递减，因为${\displaystyle I_{n}\subset I_{n+1}}$ 。所以，第1至n个下确界的并集就是第n个下确界。下极限就是这序列的极限：

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}$ 。

上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合，也就是它们的可数并：

${\displaystyle \sup \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcup _{m=1}^{\infty }}X_{m}}$ 。

上极限是这个非递增的上确界序列的可数交（其中每个上确界都包含在前一个里面）。

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}$ 。

例子或应用可见波莱尔－坎泰利引理，柯西-阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）。

• Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536.  引文使用过时参数coauthors (帮助)

• González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154.