极限点

${\displaystyle A}$  为拓扑空间 ${\displaystyle X}$  （ 其拓扑为 ${\displaystyle \tau \subseteq P(X)}$  ） 的子集且 ${\displaystyle x\in X}$  ，若所有 ${\displaystyle x}$  的开集也包含至少一个 ${\displaystyle A}$  内的非x的点，即

${\displaystyle (\forall O\in \tau )\{(x\in O)\Rightarrow (\exists a\in O)[\,(a\in A)\wedge (a\neq x)\,]\}}$ 

称 ${\displaystyle x}$  为 ${\displaystyle A}$  的极限点（注意到 ${\displaystyle x}$  不一定属于 ${\displaystyle A}$  ）。由 ${\displaystyle A}$  内所有极限点所组成的集合称为 ${\displaystyle A}$  的导集，标记为${\displaystyle A^{\prime }}$ 。

在T₁空间里，上述定义和要求 ${\displaystyle x}$  的每个邻域皆包含无限多个 ${\displaystyle A}$  的点是等价的。^{[注 4]}

另外，若X为序列空间，则可称x ∈ X为S的极限点，当且仅当存在一个由S \ {x}的点组成的ω序列，其极限为x；这也是“极限点”此一名称的由来。

如果包含x的所有开集都包含无限多个S的点，则x是特殊类型极限点，称为S的ω‐会聚点（ω‐accumulation point）。

如果包含${\displaystyle x}$ 的所有开集都包含不可数多个${\displaystyle S}$ 的点，则${\displaystyle x}$ 是特殊类型的极限点，称为${\displaystyle S}$ 的缩合点（condensation point）。

ω‐会聚点

在度量空间中，ω‐会聚点与普通的极限点定义等价。在拓扑空间中，两者概念不再等价。对于非强拓扑空间，一个所有ω‐会聚点都属于本身的集合不一定是闭集，但一个所有极限点都属于本身（导集包含于自身）的集合必为闭集。

度量空间的聚集点

在带有度量函数 ${\displaystyle d}$  的度量空间 ${\displaystyle X}$  且有 ${\displaystyle A\subseteq X}$  和 ${\displaystyle x\in X}$  ，若对所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle a\in A}$  值使得 ${\displaystyle 0<d(x,\,a)<\epsilon }$  ，也就是

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists a\in A)[\,0<d(x,\,a)<\epsilon \,]}$ 

这样称 ${\displaystyle x}$  是 ${\displaystyle A}$   的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point）。直观上意为， ${\displaystyle x}$  可以被 ${\displaystyle A}$  里的点（以度量 ${\displaystyle d}$  的意义上）无限制地逼近。

应用上， ${\displaystyle a}$  为定义域的聚集点也是函数极限能在 ${\displaystyle a}$  上有定义的前提条件。

• 关于极限点的性质：${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle S}$ 的极限点，当且仅当它属于${\displaystyle S}$  \ {${\displaystyle x}$ }的闭包。
  • 证明：根据闭包定义，某点属于某集合的闭包，当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有：x是${\displaystyle S}$ 的极限点，当且仅当所有${\displaystyle x}$ 的邻域都包含一个非${\displaystyle x}$ 的点属于S，当且仅当所有${\displaystyle x}$ 的邻域含有一个点属于${\displaystyle S}$ \ {x}，当且仅当${\displaystyle x}$ 属于${\displaystyle S\ {''x''}}$ 的闭包。

• ${\displaystyle S}$ 的闭包具有下列性质：${\displaystyle S}$ 的闭包等于${\displaystyle S}$ 和其导集的并集。
  • 证明：（从左到右）设${\displaystyle x}$ 属于${\displaystyle S}$ 的闭包。若${\displaystyle x}$ 属于S，命题成立。若${\displaystyle x\notin S}$ ，则所有${\displaystyle x}$ 的邻域都含有一个非${\displaystyle x}$ 的点属于${\displaystyle S}$ ；也就是说，x是${\displaystyle S}$ 的极限点，${\displaystyle x\in S'}$ 。（从右到左）设${\displaystyle x}$ 属于S，则明显地所有${\displaystyle x}$ 的邻域和${\displaystyle S}$ 相交，所以${\displaystyle x}$ 属于${\displaystyle S}$ 的闭包。若${\displaystyle x}$ 属于L(S)，则所有${\displaystyle x}$ 的邻域都含有一个非${\displaystyle x}$ 的点属于S，所以${\displaystyle x}$ 也属于${\displaystyle S}$ 的闭包。得证。

• 上述结论的推论给出了闭集的性质：集合${\displaystyle S}$ 是闭集，当且仅当它含有所有它的极限点。
  • 证明1：S是闭集，当且仅当${\displaystyle S}$ 等于其闭包，当且仅当${\displaystyle S}$ =${\displaystyle S}$ ∪ L(S)，当且仅当L(S)包含于S。
  • 证明2：设${\displaystyle S}$ 是闭集，${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle S}$ 的极限点。则${\displaystyle x}$ 必须属于S，否则${\displaystyle S}$ 的补集为${\displaystyle x}$ 的开邻域，和${\displaystyle S}$ 不相交。相反，设${\displaystyle S}$ 包含所有它的极限点，需要证明${\displaystyle S}$ 的补集是开集。设${\displaystyle x}$ 属于${\displaystyle S}$ 的补集。根据假设，x不是极限点，则存在${\displaystyle x}$ 的开邻域U和${\displaystyle S}$ 不相交，则U在${\displaystyle S}$ 的补集中，则${\displaystyle S}$ 的补集是开集。

• 孤点不是任何集合的极限点。
  • 证明：若${\displaystyle x}$ 是孤点，则{x}是只含有${\displaystyle x}$ 的${\displaystyle x}$ 的邻域。

• 空间${\displaystyle x}$ 是离散空间，当且仅当${\displaystyle x}$ 的子集都没有极限点。
  • 证明：若${\displaystyle x}$ 是离散空间，则所有点都是孤点，不能是任何集合的极限点。相反，若${\displaystyle x}$ 不是离散空间，则单元素集合{x}不是开集。那么，所有{x}的邻域都含有点y ≠ x，则${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle x}$ 的极限点。

• 若空间${\displaystyle x}$ 有密着拓扑，且${\displaystyle S}$ 是${\displaystyle x}$ 的多于一个元素的子集，则${\displaystyle x}$ 的所有元素都是${\displaystyle S}$ 的极限点。若${\displaystyle S}$ 是单元素集合，则所有${\displaystyle x}$ \${\displaystyle S}$ 的点仍然是${\displaystyle S}$ 的极限点。
  • 说明：只要${\displaystyle S}$ \ {x}非空，它的闭包就是X；只有当${\displaystyle S}$ 是空集或${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle S}$ 的唯一元素时，它的闭包才是空集。

• limit point. PlanetMath.