极大与极小元

数学分支序理论中,预序集子集极大元(英语:maximal elements)不小于的任何元素。极小元minimal elements)可对偶地英语Duality (order theory)定义,其不大于的任何元素。

60的
因数,以整除关系为偏序,所成的哈斯图。红色子集有两个极大元和一个极小元同时也是最小元

极大和极小的条件比最大和最小弱。预序集的子集的最大元需要“大于或等于”的全体元素(最小元同样为其对偶),极大元则衹需“不小于”(例如不可比较英语Comparability)。若将预序集限缩至偏序集,则至多衹有一个最大元和一个最小元,但极大、极小元皆可有多于一个。[1][2]但在全序集上,最大等价于极大,最小亦等价于极小。

以集族

为例,其上的偏序为包含关系。当中极小,因为不包含族中任何其他集合,反之极大,因为不被其他集合包含。则既非极小亦非极大,但同时为极小、极大。相比之下,最大元最小元

定义

 预序集,又设 ,则 中关于 的极大元定义为满足以下性质的元素 

若有 使  则必有 

与之类似, 中关于 极小元是满足以下性质的元素 

若有 使  则必有 

等价地,亦可将 关于 的极小元定义为 关于 的极大元,其中对任意  当且仅当 

若无明示子集 ,则所谓极大元预设是 的极大元。

若预序集 实为偏序集[注 1],或者限缩到 是偏序集,则 为极大当且仅当 无严格较 大的元素。换言之,不存在 使   将本段的 号一律换成 就得到极小元的描述。

存在性

极大/极小元不必存在。

  • 例一:考虑实数 的区间 。对任意元素  仍在 中,但 ,因此没有元素 为极大。
  • 例二:考虑有理数 的子集 ,因为根号2是无理数,对任何有理数 皆可找到另一有理数 使 

但在某些情况下,极大/极小元保证存在。

  •  为有限非空子集,则必有极大元和极小元。(对无穷子集无此结论,如整数 就没有极大元。)
  • 佐恩引理断言:“若偏序集 中,每个全序子集 皆有上界,则 至少有一个极大元。”此引理等价于良序定理选择公理[3]在数学的多个分支有重要推论,例如可证任何向量空间皆有(极大的代数无关子集),或是任何皆有代数闭包代数扩张偏序下的极大元)。

唯一性

极大/极小元不必唯一。

各领域例子

  1. ^ 因此 连同 可推出 
  2. ^ 2.0 2.1 定义为: 当且仅当  。高维情形亦同。
  3. ^ 若有元素 ,则集族 无极小元。

参考文献

  1. ^ Richmond, Bettina; Richmond, Thomas, A Discrete Transition to Advanced Mathematics, American Mathematical Society: 181, 2009, ISBN 978-0-8218-4789-3 .
  2. ^ Scott, William Raymond, Group Theory 2nd, Dover: 22, 1987, ISBN 978-0-486-65377-8 
  3. ^ Jech, Thomas. The Axiom of Choice. Dover Publications英语Dover Publications. 2008 [originally published in 1973]. ISBN 978-0-486-46624-8.