限制 (数学)

设 ${\displaystyle f:E\to {F}}$  为从集合 ${\displaystyle E}$  到集合 ${\displaystyle F}$  的映射，即 ${\displaystyle f}$  的定义域为 ${\displaystyle E\ (\mathrm {dom} {f}=E)}$  。对于 ${\displaystyle E}$  的子集 ${\displaystyle A}$ ，映射 ${\displaystyle f}$  到 ${\displaystyle A}$  的限制（又称 ${\displaystyle f}$  对 ${\displaystyle A}$  的限制函数）即为^[1]：

　　${\displaystyle f|_{A}:A\to {F};\ x\mapsto {f(x)}}$ 

通俗而言，${\displaystyle f}$  到 ${\displaystyle A}$  的限制可看作虽与原映射相同，但仅在 ${\displaystyle A\cap \mathrm {dom} f}$  上被定义的映射。

若设映射 ${\displaystyle f}$  为在笛卡儿积 ${\displaystyle E\times {F}}$  上的关系 ${\displaystyle (x,f(x))}$ ，${\displaystyle f}$  到 ${\displaystyle A}$  的限制可以其图像表示：

　　${\displaystyle G(f|_{A})=\{(x,f(x))\in {G(f)}|x\in {A}\}}$ 

　　1. 非单射函数 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to {\mathbb {R} };x\mapsto {x^{2}}}$  到 ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$  的限制即为单射 ${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to {\mathbb {R} };x\mapsto {x^{2}}}$ 。

　　2. 阶乘函数为伽玛函数到自然数集 ${\displaystyle \mathbb {N} }$  的限制。

• 映射 ${\displaystyle f:X\to {Y}}$  到其定义域 ${\displaystyle X}$  的限制 ${\displaystyle f|_{X}=f}$  。
• 某限制函数到其定义域的子集的限制，与其原函数到该集合的限制相同。即若 ${\displaystyle A\subseteq {B}\subseteq {\mathrm {dom} f}}$ ，则 ${\displaystyle (f|_{B})|_{A}=f|_{A}}$  成立。
• 集合 ${\displaystyle X}$  上的恒等函数到子集 ${\displaystyle A}$  的限制为从 ${\displaystyle A}$  到 ${\displaystyle X}$  的包含映射^[2]。
• 连续函数的限制函数也是连续的^[3][4]。

反函数

若某函数存在反函数，其映射必为单射。若映射 ${\displaystyle f}$  非单射，可以限制其定义域以定义其一部分的反函数。如：

　　${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ 

因为 ${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$ ，故非单射。但若将定义域限制到 ${\displaystyle x\geq {0}}$  时该映射为单射，此时有反函数

　　${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$ 

（若限制定义域至 ${\displaystyle x\leq {0}}$ ，输出 ${\displaystyle y}$  的负平方根的函数为反函数。）另外，若允许反函数为多値函数，则无需限制原函数的定义域。

粘接引理

点集拓扑学中的粘接引理联系了函数的连续性与限制函数的连续性。

粘接引理

设拓扑空间 ${\displaystyle A}$  的子集 ${\displaystyle X,\ Y}$  同时为开或闭，且满足 ${\displaystyle A=X\cup {Y}}$ ，设 ${\displaystyle B}$  为拓扑空间。若映射 ${\displaystyle f:A\to {B}}$  到 ${\displaystyle X}$  及 ${\displaystyle Y}$  的限制都连续，则 ${\displaystyle f}$  也是连续的。

基于此结论，粘接在拓扑空间中的开或闭集合上定义的两个连续函数，可以得到一个新的连续函数。

层

层将函数的限制推广到其他物件的限制。

层论中，拓扑空间${\displaystyle X}$ 的每个开集${\displaystyle U}$ ，有另一个范畴中的物件${\displaystyle F(U)}$ 与之对应，其中要求${\displaystyle F}$ 满足某些性质。最重要的性质是，若一个开集包含另一个开集，则对应的两个物件之间有限制态射，即若${\displaystyle V\subseteq U}$ ，则有态射${\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}$ ，且该些态射应仿照函数的限制，满足下列条件：

1. 对${\displaystyle X}$ 的每个开集${\displaystyle U}$ ，限制态射${\displaystyle \mathrm {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}$ 为${\displaystyle F(U)}$ 上的恒等态射。
2. 若有三个开集${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$ ，则复合${\displaystyle \mathrm {res} _{W,V}\circ \mathrm {res} _{V,U}=\mathrm {res} _{W,U}}$ 。
3. （局部性）若${\displaystyle (U_{i})}$ 为某个开集${\displaystyle U}$ 的开覆盖，且${\displaystyle s,t\in F(U)}$ 满足：对所有${\displaystyle i}$ ，${\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=t\upharpoonright _{U_{i}}}$ ，则${\displaystyle s=t}$ 。
4. （黏合) 若${\displaystyle (U_{i})}$ 为某个开集${\displaystyle U}$ 的开覆盖，且对每个${\displaystyle i}$ ，给定截面${\displaystyle s_{i}\in F(U_{i})}$ ，使得对任意两个${\displaystyle i,j}$ ，都有${\displaystyle s_{i},s_{j}}$ 在定义域重叠部分重合（即${\displaystyle s_{i}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}}$ ），则存在截面${\displaystyle s\in F(U)}$ 使得对所有${\displaystyle i}$ ，${\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=s_{i}}$ 。

所谓拓扑空间${\displaystyle X}$ 上的层，就是该些物件${\displaystyle F(U)}$ 和态射${\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}}$ 组成的整体${\displaystyle (F,\mathrm {res} )}$ 。若仅满足前两项条件，则称为预层。

1. ^ Stoll，第5页 harvnb error: no target: CITEREFStoll (help)
2. ^ Halmos 1960
3. ^ Munkres 2000
4. ^ Conrad & Franzosa 2008 harvnb error: no target: CITEREFConradFranzosa2008 (help)

• Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories. W. H. Freeman and Company. 1974. 
• Halmos, Paul, Naive Set Theory, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960 
• Munkres, James R, Topology 2, Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000 
• Colin Conrad, Adams; David Franzosa, Robert, Introduction to topology: pure and applied, Pearson Prentice Hall, 2008