扁球面坐标系

在三维空间里，一个点P的扁球面坐标${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$ 常见的定义是

${\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi }$ 、

${\displaystyle y=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi }$ 、

${\displaystyle z=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }$ 。

其中，${\displaystyle \mu \geq 0}$ 是个实数，角度${\displaystyle -90^{\circ }\leq \nu \leq 90^{\circ }}$ ，角度${\displaystyle -180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }}$ 。

学术界比较中意这一种扁球面坐标，因为没有简并；三维空间内每一点都拥有自己独特的扁球面坐标。

坐标曲面

${\displaystyle \mu }$ 坐标曲面是扁球面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$ 。

它们是由椭圆绕着z-轴旋转形成的。椭球面与xz-平面的相交，是一个的椭圆。沿着x-轴，长半轴长度为${\displaystyle a\cosh \mu }$ ，沿着z-轴，短半轴长度为${\displaystyle a\sinh \mu }$ 。椭圆的焦点都包含于x-轴，x-坐标分别为${\displaystyle \pm a}$ 。

${\displaystyle \nu }$ 坐标曲面是半个单叶旋转双曲面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$ 。

假若${\displaystyle \nu }$ 是正值，${\displaystyle z}$ 也是正值，这半个单叶旋转双曲面在xy-平面以上；假若是负值，则在xy-平面以下。${\displaystyle \nu }$ 是双曲线的渐近线的角度。所有双曲线的焦点都在x-轴，x-坐标分别为${\displaystyle \pm a}$ 。

${\displaystyle \phi }$ 坐标曲面是个半平面 ：

${\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}$ 。

逆变换

用直角坐标${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ 来计算扁球面坐标${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$ ，方位角${\displaystyle \phi }$ 的公式为

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$ 。

设定${\displaystyle d_{1}}$ 与${\displaystyle d_{2}}$ 分别为点P与焦圆的最远距离与最近距离，以方程式表示为

${\displaystyle d_{1}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}}$ 、

${\displaystyle d_{2}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}}$ 。

坐标${\displaystyle \mu }$ 和${\displaystyle \nu }$ 的方程式分别为

${\displaystyle \cosh \mu ={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}}$ 、

${\displaystyle \cos \nu ={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}}$ 。

标度因子

扁球面坐标${\displaystyle \mu }$ 与${\displaystyle \nu }$ 的标度因子相等：

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$ 。

方位角${\displaystyle \phi }$ 的标度因子为

${\displaystyle h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu }$ 。

无穷小体积元素是

${\displaystyle dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi }$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$ 。

其它微分算子，像${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ 、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ，都可以用${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$ 坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

另外有一组有时会用到的扁球面坐标${\displaystyle (\zeta ,\ \xi ,\ \phi )}$ ；其中，${\displaystyle \zeta =\sinh \mu }$ ，${\displaystyle \xi =\sin \nu }$ ^[1]。${\displaystyle \zeta }$ 坐标曲面是个扁球面，${\displaystyle \xi }$ 坐标曲面是个旋转双曲面。从直角坐标变换至扁球面坐标：

${\displaystyle x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi }$ 、

${\displaystyle y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi }$ 、

${\displaystyle z=a\zeta \xi }$ 。

其中，实数${\displaystyle 0\leq \zeta <\infty }$ ，实数${\displaystyle -1\leq \xi <1}$ ，角度${\displaystyle -180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }}$ 。

标度因子

扁球面坐标${\displaystyle (\zeta ,\ \xi ,\ \phi )}$ 的标度因子分别为：

${\displaystyle h_{\zeta }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}}$ 、

${\displaystyle h_{\xi }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}}$ 、

${\displaystyle h_{\phi }=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}}$ 。

无穷小体积元素是

${\displaystyle dV=a^{3}(\zeta ^{2}+\xi ^{2})\,d\zeta \,d\xi \,d\phi }$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}}$ 。

另外，还有一种比较有几何直觉性的扁球面坐标系${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ ^[2]：

${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$ 、

${\displaystyle \tau =\cos \nu }$ 、

${\displaystyle \phi =\phi }$ 。

坐标${\displaystyle \sigma }$ 必须大于或等于1。坐标${\displaystyle \tau }$ 必须在正负1之间。${\displaystyle \sigma }$ 坐标曲面是扁球面。${\displaystyle \tau }$ 坐标曲面是单叶双曲面，包含了对应于正负${\displaystyle \nu }$ 的半双曲面。第三种坐标有双重简并：三维空间的两点（直角坐标${\displaystyle (x,\ y,\ \pm z)}$ 映射至一组扁球面坐标系${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ ）。这双重简并可以从直角坐标变换至扁球面坐标的公式观察到：

${\displaystyle x=a\sigma \tau \cos \phi }$ 、

${\displaystyle y=a\sigma \tau \sin \phi }$ 、

${\displaystyle z^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}$ 。

坐标${\displaystyle \sigma }$ 与${\displaystyle \tau }$ 有一个简单的公式来表达任何一点P与焦圆的最远距离${\displaystyle d_{1}}$ ，最近距离${\displaystyle d_{2}}$ ：

${\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma }$ 、

${\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau }$ 。

所以，点P与焦圆的最远距离是${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$ ，点P与焦圆的最近距离是${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$ 。

坐标曲面

${\displaystyle \sigma }$ 坐标曲面是扁球面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1}$ 。

${\displaystyle \tau }$ 坐标曲面是单叶旋转双曲面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1}$ 。

${\displaystyle \phi }$ 坐标曲面是半个平面 ：

${\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}$ 。

标度因子

扁球面坐标${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ 的标度因子分别为：

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sigma ^{2}+1}}}}$ 、

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$ 、

${\displaystyle h_{\phi }=a\sigma \tau }$ 。

无穷小体积元素是

${\displaystyle dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau d\phi }$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}+1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$ 。

其它微分算子，像${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ 、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ，都可以用${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$ 坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

如同球坐标解答的形式为球谐函数，拉普拉斯方程可以用分离变数法来求解，得到形式为扁球谐函数的答案。假若，边界条件涉及扁球面，我们可以优先选择这方法来解析。

不按照命名常规

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 采用${\displaystyle \xi _{1}=a\sinh \mu }$ 、${\displaystyle \xi _{2}=\sin \nu }$ 、${\displaystyle \xi _{3}=\cos \phi }$ 。

• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Morse & Feshbach (1953)，采用${\displaystyle u_{k}}$ 来替代${\displaystyle \xi _{k}}$ 。

• Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 采用混合坐标${\displaystyle \xi =a\sinh \mu }$ 、${\displaystyle \eta =\sin \nu }$ 、${\displaystyle \phi =\phi }$ 。

按照命名常规

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  引文格式1维护：冗余文本 (link)采用第一种表述${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$ ，又加介绍了简并的第三种表述${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ 。

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Korn and Korn (1961)，但采用余纬度${\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu }$ 来替代纬度${\displaystyle \nu }$ 。

• Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon and Spencer采用余纬度常规${\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu }$ ，又改名${\displaystyle \phi }$ 为${\displaystyle \psi }$ 。

特异命名常规

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  引文格式1维护：冗余文本 (link)视扁球面坐标系为椭球坐标系的极限。采用第二种表述。