椭圆坐标系

椭圆坐标 ${\displaystyle (\mu ,\ \nu )}$  最常见的定义是

${\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu }$  、

${\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }$  ；

其中， ${\displaystyle \mu \geq 0}$  为非负值实数， ${\displaystyle \nu \in [0,2\pi )}$  。

在复值平面，等价关系式为

${\displaystyle x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )}$  。

以下两个三角恒等式

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$  、

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$ 

表明， ${\displaystyle \mu }$  的等值曲线形成椭圆，而 ${\displaystyle \nu }$  的等值曲线则形成双曲线：

椭圆坐标 ${\displaystyle \mu }$  与 ${\displaystyle \nu }$  的标度因子相等：

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$  ，

为了简化标度因子的计算，可以用二倍角公式来等价地表达为

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu }})}$  。

无穷小面积元素等于

${\displaystyle dA=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu }$  。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)}$  。

其它微分算子，例如 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$  与 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$  ，都可以用椭圆坐标表达，只需要将标度因子代入正交坐标条目内对应的一般公式。

另外有一种在直觉上比较赋有几何性的椭圆坐标 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau )}$  ；其中， ${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$  、${\displaystyle \tau =\cos \nu }$  。同样地，${\displaystyle \sigma }$  的等值曲线是椭圆，而 ${\displaystyle \tau }$  的等值曲线是双曲线。在这里， ${\displaystyle \tau }$  必须属于区间 ${\displaystyle [-1,\ 1]}$  ，而 ${\displaystyle \sigma }$  必须大于或等于 ${\displaystyle 1}$  。

使用椭圆坐标，任何在 xy-平面上的点 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau )}$  ，其与两个焦点的距离 ${\displaystyle d_{1}}$  ，${\displaystyle d_{2}}$  有一个很简单的关系（回想两个焦点 ${\displaystyle F_{1}}$  与 ${\displaystyle F_{2}}$  的坐标分别为 ${\displaystyle (-a,\ 0)}$  与 ${\displaystyle (a,\ 0)}$  ）：

${\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma }$  、

${\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau }$  。

或者，

${\displaystyle d_{1}=a(\sigma +\tau )}$  、

${\displaystyle d_{2}=a(\sigma -\tau )}$  。

第二种椭圆坐标有一个缺点，那就是它与直角坐标并不保持一一对应关系：

${\displaystyle x=a\sigma \tau }$  、

${\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}$  。

第二种椭圆坐标 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau )}$  的标度因子是

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$  、

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$  。

所以，无穷小面积元素等于

${\displaystyle dA=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau }$  。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]}$  。

其它微分算子，例如 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$  与 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$  ，都可以用第二种椭圆坐标表达，只需要将第二种标度因子代入正交坐标条目内对应的一般公式。

椭圆坐标系是几种三维正交坐标系的基础。将椭圆坐标系往 z-轴方向投射，则可以得到椭圆柱坐标系。将椭圆坐标系绕着 x-轴旋转，就可以得到长球面坐标系，而绕着 y-轴旋转，又可以得到扁球面坐标系；在这里，x-轴是连接两个焦点的直轴，y-轴是在两个焦点中间的直轴。

椭圆坐标最经典的用法是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程这类的偏微分方程式。在这些方程式里，椭圆坐标允许分离变数法的使用。举一个典型的例题，有一块宽度为 ${\displaystyle 2a}$  的平板导体，请问其周围的电场为什么？应用椭圆坐标，我们可以精致地解析这例题。

• 拉普拉斯-龙格-冷次向量

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 657.   引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 182–183.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Korn GA. Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 179.  引文格式1维护：冗余文本 (link)