五复合正四面体

几何学中,五复合正四面体是一种由五个正四面体组合成的几何图形[3],属于星形二十面体[4],也是唯一五种正复合体之一[5],其索引编号为UC5。温尼尔在他的书中列出了许多星形多面体模型,其中也收录了五复合正四面体,并将之给予编号W24[6]。其也收录于哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特的书《五十九种二十面体》中,编号为47[7],但这个多面体最早是由埃德蒙·赫斯在1876年发现并描述的。

五复合正四面体
五复合正四面体
(单击查看旋转模型)
类别复合正多面体
对偶多面体五复合正四面体
识别
名称五复合正四面体
参考索引UC5, W24
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
{5,3}[5{3,3}] {3,5}[2]
性质
5
20
30
顶点20
欧拉特征数F=20, E=30, V=20 (χ=10)
组成与布局
复合几何体数量5
复合几何体种类5个正四面体
面的种类20个正三角形
对称性
对称群手性英语Chirality (mathematics)二十面体群英语Icosahedral symmetry (I)
旋转对称群
英语Rotation_groups
手性英语Chirality (mathematics)四面体群英语Tetrahedral symmetry (T)
图像
星状图英语Stellation_diagram 星状英语Stellation 凸包
Second compound stellation of icosahedron facets.png Icosahedron.png Dodecahedron.png
正二十面体 正十二面体

性质

五复合正四面体为五个正四面体组合成的形状,由于没有顶点共用的情况,因此其边、面和顶点的数量为正四面体的5倍,共有20个面、30条边和20个顶点

结构

五复合正四面体可以视为正十二面体刻面英语faceting后的多面体,在正十二面体凸包中每个正四面体定位在12个顶点中的其中4个顶点。也因此,正十二面体有相同的顶点布局英语Vertex arrangement[8]

 
 
实体的五复合正四面体的旋转模型

五复合正四面体可以透过将正四面体置于旋转的二十面体群英语Icosahedral symmetry (I)构造

 

其也可以利用20组3个凹五边形组合起来构造,如上图。这种凹五边形有三种边长,其中有两组等长边,较长的等长边长度为黄金比例倒数的根号2倍,为 ,较短的等长边长度为黄金比例平方的倒数,为 ,另外一边长度为黄金比例平方倒数的根号2倍, 。这种方法由温尼尔提出[10]

这种形状也正是每个正四面体露出来的部分。

 
球面镶嵌
 
透明的模型
(旋转模型)
 
五个互交叉的四面体

顶点坐标

由于五复合正四面体可以看作是在正十二面体中嵌入正四面体,因此其顶点坐标正十二面体相同:

(±1, ±1, ±1)、
(0, ±1/ϕ, ±ϕ)、
1/ϕ, ±ϕ, 0)、
ϕ, 0, ±1/ϕ)。

其中ϕ = 1 + 5/2黄金比例

作为星形多面体

五复合正四面体是一种星形二十面体,其星状核为正二十面体、凸包为正十二面体,在杜·瓦尔记号英语Patrick du Val中以Ef1d表示。

星状图英语Stellation diagram 星形 星状核 凸包
     
正二十面体
 
正十二面体

其他的五复合正四面体

相关多面体

五复合正四面体与其手性镜像可组合出十复合正四面体,也就是说十复合正四面体可以看作是两个五复合正四面体的复合体[11]

参见

参考文献

  1. Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  1. ^ 1.0 1.1 H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, 加利福尼亚理工学院 计算机科学组. [2016-09-01]. (原始内容存档于1999-09-13). Compound of Five Tetrahedra, Another type of linkage, only with five reflective tetrahedra. 
  2. ^ Maeder, R. E. "The Stellated Icosahedra."页面存档备份,存于互联网档案馆) Mathematica in Education 3, 5-11, 1994.
  3. ^ Regular Polytopes (1973)[1], 3.6 The five regular compounds, pp.47-50
  4. ^ Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  5. ^ H·S·M·考克斯特. 五十九種二十面體. H. T. Flather, J. F. Petrie. Springer Science & Business Media. 2012. ISBN 9781461382164. 
  6. ^ Compound of Five Tetrahedra. 国立清华大学. [2017-02-28]. (原始内容存档于2017-03-01). 
  7. ^ 9.0 9.1 Cundy, H. and Rollett, A. "Five Tetrahedra in a Dodecahedron." §3.10.8 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., 1989. 编辑