十二胞体

在四维空间中没有正十二胞体，但有四种柱体柱：三角九角柱体柱（英语：3-9 duoprism）、四角八角柱体柱（英语：4-8 duoprism）和五角七角柱体柱（英语：5-7 duoprism）和六角六角柱体柱（英语：6-6 duoprism）^[1]，其中，六角六角柱体柱是由十二个全等的六角柱组成，但六角柱不是正图形，因此不能算是正十二胞体。

在五维空间中，十二胞体由12个四维多胞体组成，虽然没有正十二胞体，但存在许多半正多胞体，例如四种经过一次康威变换的半正多胞体^[2]。

在六维空间中，十二胞体为由12个五维多胞体所组成的多胞体，而由十二个五维超正方体所组成的十二胞体称为六维超立方体（英语：6-cube）。

在十一维空间几何学中，十一维正十二胞体（Dodecadakon或Dodeca-11-tope）又称为11-单纯形（11-simplex）是十一维空间的一种自身对偶的正多胞体，由12个十维正十一胞体组成，是一个十一维空间中的单纯形^[3][4]。

性质

四维正十二胞体共有12个维面、66个维轴和220个维端，其各维度的的胞数分别为12个十维胞、66个九维胞、220个八维胞、495个七维胞、792个六维胞、924个五维胞、792个四维胞、495个三维胞、220个面、66条边和12个顶点，其二面角为cos⁻¹(1/11)大约是84.78°^[5][6][7]。

顶点坐标

边长为2且几何中心位于原点的十一维正十二胞体的顶点坐标会落在：

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ -{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ -4/3,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ -3{\sqrt {1/5}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ -{\sqrt {20/11}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left(-{\sqrt {11/6}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$ 

• 十二面体
• 十二边形