霍普夫代数

所谓霍普夫代数，是指一个域 ${\displaystyle K}$  上的双代数 ${\displaystyle (H,\nabla ,\Delta ,\eta ,\epsilon )}$ ，配上一个线性映射 ${\displaystyle S:H\to H}$ （称为对极映射），使得下述图表交换：

利用 Sweedler 记号，此定义亦可表为

${\displaystyle \forall c\in C,\quad S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon (c)1}$ 

对极映射可理解为 ${\displaystyle \mathrm {id} :H\to H}$  对卷积之逆，故其若存在必唯一。当 ${\displaystyle S^{2}=\mathrm {id} }$ ，则称 ${\displaystyle H}$  为对合的；交换或余交换霍普夫代数必对合。

根据定义，有限维霍普夫代数的对偶空间也带有自然的霍普夫代数结构。

群代数. 设 ${\displaystyle G}$  为群，可赋予群代数 ${\displaystyle K[G]}$  下述霍普夫代数结构：

• ${\displaystyle \Delta :K[G]\to K[G]\otimes K[G],\quad \forall g\in G,\Delta (g)=g\otimes g}$ 
• ${\displaystyle \epsilon :K[G]\to K,\quad \forall g\in G,\epsilon (g)=1}$ 
• ${\displaystyle S:K[G]\to K[G],\quad \forall g\in G,S(g)=g^{-1}}$ 

有限群上的函数. 设 ${\displaystyle G}$  为有限群，置 ${\displaystyle K^{G}}$  为所有 ${\displaystyle G\to K}$  的函数，并以逐点的加法与乘法使之成为结合代数。此时有自然的同构 ${\displaystyle K^{G}\otimes K^{G}=K^{G\times G}}$ 。定义：

• ${\displaystyle \Delta :K^{G}\to K^{G\times G},\quad \Delta (f)(x,y)=f(xy)}$ 
• ${\displaystyle \epsilon :K^{G}\to G,\quad \epsilon (f)=f(e)}$ 
• ${\displaystyle S:K^{G}\to K^{G},\quad S(f)(x)=f(x^{-1})}$ 

仿射代数概形的座标环：处理方式同上。

泛包络代数. 假设 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  是域 ${\displaystyle K}$  上的李代数，置 ${\displaystyle U:=U({\mathfrak {g}})}$  为其泛包络代数，定义：

• ${\displaystyle \Delta :U\to U\otimes U,\quad \forall g\in {\mathfrak {g}},\Delta (x)=x\otimes 1+1\otimes x}$ 
• ${\displaystyle S:U\to U,\quad \forall x\in {\mathfrak {g}},S(x)=-x}$ 

后两条规则与交换子相容，因此可唯一地延拓至整个 ${\displaystyle U}$  上。

李群的上同调代数构成一个霍普夫代数，其代数结构由上同调的上积给出，余代数结构则来自群乘法 ${\displaystyle G\times G\to G}$ ，由此导出

${\displaystyle H^{\bullet }(G)\to H^{\bullet }(G\times G)=H^{\bullet }(G)\otimes H^{\bullet }(G)}$ 

对极映射来自 ${\displaystyle G\to G:g\mapsto g^{-1}}$ 。这是霍普夫代数的历史起源，事实上，霍普夫借着研究这种结构，得以证明李群上同调的结构定理：

定理（霍普夫，1941年）^[1].

设 ${\displaystyle A}$  为 ${\displaystyle K}$  上的有限维分次交换、余交换之霍普夫代数，则 ${\displaystyle A}$ （视为 ${\displaystyle K}$ -代数）同构于由奇数次元素生成的自由外代数。

上述所有例子若非交换便是余交换的。另一方面，泛包络代数的某些“变形”或“量子化”可给出非交换亦非余交换的例子；这类霍普夫代数常被称为量子群，尽管严格而言它们并不是群。这类代数在非交换几何中相当重要：一个仿射代数群可以由其座标环构成的霍普夫代数刻划，而这些霍普夫代数的变形则可设想为某类“量子化”了的代数群（实则非群）。

• Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. 编辑
  1. ^ H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119-151, Springer, Berlin (1964). MR4784