双代数

相容性意味着余乘法与余单位元都是单位结合代数的同态，这也等价于乘法及单位元是余代数之同态，因为两者由相同的交换图刻画。

由单位图表的对称性，也可导出下述事实：如果 ${\displaystyle B}$  是双代数，而且 ${\displaystyle B}$  具有良好的对偶空间 ${\displaystyle B^{\vee }}$ （例如当 ${\displaystyle B}$  维度有限时），则 ${\displaystyle B^{\vee }}$  也带有自然的双代数结构。

图表

定义中的相容性由以下交换图给出：

乘法与余乘法相容：

乘法与余单位元相容：

余乘法与单位元相容：

单位元与余单位元相容：

在此 ${\displaystyle \nabla _{B}:B\otimes _{K}B\to B}$  是代数乘法，而 ${\displaystyle \eta _{B}:K\to B}$  是代数之单位元。${\displaystyle \Delta _{B}:B\to B\otimes _{K}B}$  是余代数乘法，而 ${\displaystyle \epsilon _{B}:B\to K}$  是余代数单位元。${\displaystyle \tau _{B}:B\otimes B\to B\otimes B}$  定义为 ${\displaystyle \tau (x\otimes y)=y\otimes x}$ 。

式子

若以算式具体描述，则相容关系有如下之表示（在此采用省略 ${\displaystyle \Sigma }$  之 Sweedler 记法）：

乘法与余乘法相容：

${\displaystyle (ab)_{(1)}\otimes (ab)_{(2)}=a_{(1)}b_{(1)}\otimes a_{(2)}b_{(2)}\,}$ 

乘法与余单位元相容：

${\displaystyle \varepsilon (ab)=\varepsilon (a)\varepsilon (b)\;}$ 

余乘法与单位元相容：

${\displaystyle 1_{(1)}\otimes 1_{(2)}=1\otimes 1\,}$ 

单位元与余单位元相容：

${\displaystyle \varepsilon (1)=1.\;}$ 

在此我们省略代数乘法之映射 ${\displaystyle \nabla }$ ，而直接以两项并置表之。同理，单位元 ${\displaystyle \eta }$  直接以单位元素 ${\displaystyle 1}$  表示（对应到 ${\displaystyle \eta (1)}$ ）。

• Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. 编辑
  • 霍普夫代数
  • 余代数
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