AKS素性测试

AKS素性测试（又被称为Agrawal–Kayal–Saxena素性测试和Cyclotomic AKS test）是一个决定型素性测试算法，由三个来自印度坎普尔理工学院（英语：Indian Institute of Technology Kanpur）的计算机科学家，曼宁德拉·阿格拉瓦尔（英语：Manindra Agrawal）、尼拉吉·卡亚尔（英语：Neeraj Kayal）和尼汀·沙克谢纳（英语：Nitin Saxena），在2002年8月6日发表于一篇题为素数属于P的论文。^[1]作者们因此获得了许多奖项，包含了2006年的哥德尔奖和2006年的富尔克森奖。这个算法可以在多项式时间之内，决定一个给定整数是素数或者合数。

重要性

AKS最关键的重要性在于它是第一个被发表的一般的、多项式的、确定性的和无仰赖的素数判定算法。先前的算法至多达到了其中三点，但从未达到全部四个。

AKS算法可以被用于检测任何一般的给定数字是否为素数。很多已知的高速判定算法只适用于满足特定条件的素数。例如，卢卡斯-莱默检验法仅对梅森素数适用，而Pépin测试（英语：Pépin's test）仅对费马数适用。
算法的最长运行时间可以被表为一个目标数字长度的多项式。ECPP和APR能够判断一个给定数字是否为素数，但无法对所有输入给出多项式时间范围。
算法可以确定性地判断一个给定数字是否为素数。随机测试算法，例如米勒-拉宾检验和Baillie–PSW，可以在多项式时间内对给定数字进行校验，但只能给出概率性的结果。
AKS算法并未“仰赖”任何未证明猜想。一个反例是确定性米勒检验：该算法可以在多项式时间内对所有输入给出确定性结果，但其正确性却基于尚未被证明的广义黎曼猜想。

概念

AKS素性测试主要是基于以下定理：整数n (≥ 2)是素数，当且仅当

$(x+a)^{n}\equiv (x^{n}+a){\pmod {n}}$

(1)

这个同余多项式对所有与n互素的整数a均成立。这个定理是费马小定理的一般化，并且可以简单的使用二项式定理跟二项式系数的这个特征:

{n \choose k}\equiv 0{\pmod {n}}

，对任何

0<k<n

，当且仅当 n 是素数

来证明出此定理。

虽然说关系式 (1) 基本上构成了整个素性测试，但是验证花费的时间却是指数时间。因此，为了减少计算复杂度，AKS改为使用以下的同余多项式：

$(x+a)^{n}\equiv (x^{n}+a){\pmod {x^{r}-1,n}}$

(2)

这个多项式与存在多项式f与g，令:

$(x+a)^{n}-(x^{n}+a)=(x^{r}-1)g+nf$

(3)

意义是等同的。

这个同余式可以在多项式时间之内检查完毕。这里我们要注意所有的素数必定满足此条件式（令g = 0则 (3) 等于 (1)，因此符合n必定是素数）。然而，有一些合数也会满足这个条件式。有关AKS正确性的证明包含了推导出存在一个够小的r以及一个够小的整数集合A，令如果此同余式对所有A里面的整数都满足，则n必定为素数。

历史以及运算时间

在上文引用的论文的第一版本中，作者们证明了算法的渐近时间为O $(\log ^{12}(n))$ 。换言之，算法使用少于n的二进制数字长度的十二次方。但是，论文证明的时间上界却过于宽松；事实上，一个被普遍相信的关于索菲热尔曼素数分布的假设如果为真，则会立即将最坏情况减至O $(\log ^{6}(n))$ 。

在这一发现后的几个月中，新的变体陆续出现（Lenstra 2002, Pomerance 2002, Berrizbeitia 2003, Cheng 2003, Bernstein 2003a/b, Lenstra和Pomerance 2003）并依次提高了算法的速度（以改进幅度为序）。由于这些变体的出现，Crandall和Papadopoulos在其科学论文“AKS-类素性测试的实现”（2003年三月发表）中将其称为算法的“AKS-类”。

出于对这些变体和其他回复的回应，论文“素数属于P”稍后被进行了更新，新版本包括了一个AKS算法的正规公式化表述和其正确性证明。（这一版本在数学年刊上发表。）虽然基本思想没有变化， $r$ 却被采用了新方法进行选择，而正确性证明也变得更加紧致有序。与旧证明依赖于许多不同的方法不同，新版本几乎只依赖于有限域上的分圆多项式的特征。新版本同时也优化了时间复杂度的边界到O $(\log ^{10.5}(n))$ 。通过筛法获得的其他结果可以将其进一步简化到O $(\log ^{7.5}(n))$ 。

在2005年，Carl Pomerance和H. W. Lenstra, Jr.展示了一个AKS的变体，可以在 $O(\log ^{6}(n))$ 次操作内完成测试（ $n$ 是被测试数）。对于原算法的 $O(\log ^{12}(n))$ 边界而言，这是一个显著的改进。^[2]

算法

整个算法的操作如下：^[1]

输入：整数 n > 1

若存在整数a > 0 且b > 1 ，令 n = a^b ；则输出合数
找出最小的 r 令 ord_r(n) > log²(n).
若对某些a ≤ r，1 < gcd(a,n) < n，输出合数。(gcd是指最大公约数)。
若 n ≤ r, 输出素数。
对 a = 1 到 $\scriptstyle \lfloor \scriptstyle {\sqrt {\varphi (r)}}\log(n)\scriptstyle \rfloor$ 的所有数，
如果 (X+a)ⁿ≠ Xⁿ+a (mod X^r − 1,n), 输出合数。
输出素数。

这里的 ord_r(n)是n mod r的阶。另外，这里的log 代表以二为底的对数， $\scriptstyle \varphi (r)$ 则是r的欧拉函数。

下面说明若n是个素数，那么算法总是会返回素数：由于n是素数，步骤1和3永远不会返回合数。步骤5也不会返回合数，因为(2)对所有素数n为真。因此，算法一定会在步骤4或6返回素数。

对应地，如果n是合数，那么算法一定返回合数：如果算法返回素数，那么则一定是从步骤4或6返回。对于前者，因为n ≤ r， n必然有因子a ≤ r符合1 < gcd(a,n) < n，因此会返回合数。剩余的可能性就是步骤6，在文章^[1]中，这种情况被证明不会发生，因为在步骤5中检验的多个等式可以确保输出一定是合数。

例子：n = 31为素数

输入：整数n = 31 > 1。

  若存在整數a > 0 且b > 1 ，令 n  =  a^b ；則輸出「合數」。
    for ( b = 2; b < =  log₂(n); b +  +  ){
      a = n^1/b;
      If ( a是整數 ) 輸出「合數」;
    }
    // a = n^1/2...n^1/4 = {5.568, 3.141, 2.360}，計算結果不是整數

  找出最小的 r 令 ord_r(n) > log²(n)。
    nextR = True;
    r = 1;
    while ( nextR =  = True ) {
      r +  + ;
      nextR = False
      for ( k = 1;(!nextR) &&k ≤ log²(n); k +  +  ){
        nextR = (n^k % r =  = 1 || n^k % r =  = 0);
      }
    }
    // 計算結果為：r  =  29

  若 對某些a ≤ r，1 < gcd(a,n) < n，輸出「合數」。
    for ( a = r; a > 1; a-- ){
      If ( 1 < gcd(a,n) < n ) 輸出「合數」;
    }
     
    // gcd(29,31) = 1, gcd(28,31) = 1, ..., gcd(2,31) = 1，計算結果為找不到符合的a使得1 < gcd(a,n) < n為真

  若 n ≤ r, 輸出「質數」。
    If ( n ≤ r ) 輸出「質數」;
     
    // 31 > 29，計算結果n比r大

  對 a  =  1 到  $\scriptstyle \lfloor \scriptstyle {\sqrt {\varphi (r)}}\log(n)\scriptstyle \rfloor$ 的所有數，
     如果 (X + a)ⁿ≠ Xⁿ + a (mod X^r − 1,n), 輸出「合數」。
     
    for ( a = 1; a ≤  $\scriptstyle \lfloor \scriptstyle {\sqrt {\varphi (r)}}\log(n)\scriptstyle \rfloor$ , a +  +  )
      if ( ((X + a)ⁿ-(Xⁿ + a)) % (X^r−1,n) ≠ 0 ) 輸出「合數」。
    }
     
    / *  *  * 
    (x + a)³¹ % (x²⁹-1,31)
      = (((x + a)²⁹ % (x²⁹-1,31)) * (x + a)² % 31) % (x²⁹-1,31)
      = ((1 + a²⁹ + 29a²⁸x + (406 % 31)a²⁷x² + (3654 % 31)a²⁶x³ + (23751 % 31)a²⁵x⁴ + (118755 % 31)a²⁴x⁵ + (475020 % 31)a²³x⁶ + (1560780 % 31)a²²x⁷ + (4292145 % 31)a²¹x⁸ + (10015005 % 31)a²⁰x⁹ + (20030010 % 31)a¹⁹x¹⁰ + (34597290 % 31)a¹⁸x¹¹ + (51895935 % 31)a¹⁷x¹² + (67863915 % 31)a¹⁶x¹³ + (77558760 % 31)a¹⁵x¹⁴ + (77558760 % 31)a¹⁴x¹⁵ + (67863915 % 31)a¹³x¹⁶ + (51895935 % 31)a¹²x¹⁷ + (34597290 % 31)a¹¹x¹⁸ + (20030010 % 31)a¹⁰x¹⁹ + (10015005 % 31)a⁹x²⁰ + (4292145 % 31)a⁸x²¹ + (1560780 % 31)a⁷x²² + (475020 % 31)a⁶x²³ + (118755 % 31)a⁵x²⁴ + (23751 % 31)a⁴x²⁵ + (3654 % 31)a³x²⁶ + (406 % 31)a²x²⁷ + 29ax²⁸) * (a² + 2ax + x²)) % (x²⁹-1,31)
      = ((1 + a²⁹ + 29a²⁸x + 3a²⁷x² + 27a²⁶x³ + 5a²⁵x⁴ + 25a²⁴x⁵ + 7a²³x⁶ + 23a²²x⁷ + 9a²¹x⁸ + 21a²⁰x⁹ + 11a¹⁹x¹⁰ + 19a¹⁸x¹¹ + 13a¹⁷x¹² + 17a¹⁶x¹³ + 15a¹⁵x¹⁴ + 15a¹⁴x¹⁵ + 17a¹³x¹⁶ + 13a¹²x¹⁷ + 19a¹¹x¹⁸ + 11a¹⁰x¹⁹ + 21a⁹x²⁰ + 9a⁸x²¹ + 23a⁷x²² + 7a⁶x²³ +  25a⁵x²⁴ + 5a⁴x²⁵ + 27a³x²⁶ + 3a²x²⁷ + 29ax²⁸) * (a² + 2ax + x²)) % (x²⁹-1,31)
      = ((1 + 2 * 29 + 3) % 31)a² + a³¹ + ((2 + 29) % 31)ax + ((29 + 2 * 1) % 31)a³⁰x + x² + ((3 + 2 * 29 + 1) % 31)a²⁹x² + ((27 + 2 * 3 + 29) % 31)a²⁸x³ + ((5 + 2 * 27 + 3) % 31)a²⁷x⁴ + ((25 + 2 * 5 + 27) % 31)a²⁶x⁵ + ((7 + 2 * 25 + 5) % 31)a²⁵x⁶ + ((23 + 2 * 7 + 25) % 31)a²⁴x⁷ + ((9 + 2 * 23 + 7) % 31)a²³x⁸ + ((21 + 2 * 9 + 23) % 31)a²²x⁹ + ((11 + 2 * 21 + 9) % 31)a²¹x¹⁰ + ((19 + 2 * 11 + 21) % 31)a²⁰x¹¹ + ((13 + 2 * 19 + 11) % 31)a¹⁹x¹² + ((17 + 2 * 13 + 19) % 31)a¹⁸x¹³ + ((15 + 2 * 17 + 13) % 31)a¹⁷x¹⁴ + ((15 + 2 * 15 + 17) % 31)a¹⁶x¹⁵ + ((17 + 2 * 15 + 15) % 31)a¹⁵x¹⁶ + ((13 + 2 * 17 + 15) % 31)a¹⁴x¹⁷ + ((19 + 2 * 13 + 17) % 31)a¹³x¹⁸ + ((11 + 2 * 19 + 13) % 31)a¹²x¹⁹ + ((21 + 2 * 11 + 19) % 31)a¹¹x²⁰ + ((9 + 2 * 21 + 11) % 31)a¹⁰x²¹ + ((23 + 2 * 9 + 21) % 31)a⁹x²² + ((7 + 2 * 23 + 9) % 31)a⁸x²³ + ((25 + 2 * 7 + 23) % 31)a⁷x²⁴ + ((5 + 2 * 25 + 7) % 31)a⁶x²⁵ + ((27 + 2 * 5 + 25) % 31)a⁵x²⁶ + ((3 + 2 * 27 + 5) % 31)a⁴x²⁷ + ((29 + 2 * 3 + 27) % 31)a³x²⁸
      = a³¹ + x²
     
    (x³¹ + a) % (x²⁹-1,31) = a + x²
     
    (a³¹ + x²)-(a + x²) = a³¹-a
     
     ${\sqrt {\varphi (r)}}\log _{2}(n)={\sqrt {28}}*log_{2}(31)=26.215$ 
     
    (1³¹-1) % 31 = 0, (2³¹-2) % 31 = 0, (3³¹-3) % 31 = 0, ..., (26³¹-26) % 31 = 0，計算結果為找不到符合的a使得(X + a)ⁿ≠ Xⁿ + a (mod X^r − 1,n)為真
     *  *  * /

  輸出「質數」。
    31必為質數。

注释

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena, "PRIMES is in P （页面存档备份，存于互联网档案馆）", Annals of Mathematics 160 (2004), no. 2, pp. 781–793.
^ 亨德里克·伦斯特拉 and Carl Pomerance, "Primality Testing with Gaussian Periods （页面存档备份，存于互联网档案馆）", preliminary version July 20, 2005.

延伸阅读

Dietzfelbinger, Martin. Primality testing in polynomial time. From randomized algorithms to ``PRIMES is in P. Lecture Notes in Computer Science 3000. Berlin: 施普林格科学+商业媒体. 2004. ISBN 3-540-40344-2. Zbl 1058.11070.

外部链接

埃里克·韦斯坦因. AKS Primality Test. MathWorld.
R. Crandall, Apple ACG, and J. Papadopoulos (March 18, 2003): On the implementation of AKS-class primality tests (PDF)
Article by Borneman, containing photos and information about the three Indian scientists（页面存档备份，存于互联网档案馆） (PDF)
Andrew Granville: It is easy to determine whether a given integer is prime（页面存档备份，存于互联网档案馆）
The Prime Facts: From Euclid to AKS（页面存档备份，存于互联网档案馆）, by Scott Aaronson (PDF)
The PRIMES is in P little FAQ（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Anton Stiglic
2006 Gödel Prize Citation
2006 Fulkerson Prize Citation（页面存档备份，存于互联网档案馆）
The AKS "PRIMES in P" Algorithm Resource（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Grime, Dr. James. Fool-Proof Test for Primes - Numberphile (video). 布雷迪·哈兰. [2018-05-10]. （原始内容存档于2018-03-23）. [the video describes the exponential time relation (1), which it calls AKS]

[AKS-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena, "PRIMES is in P （页面存档备份，存于互联网档案馆）", Annals of Mathematics 160 (2004), no. 2, pp. 781–793.

[lenstra_pomerance_2005-2] 亨德里克·伦斯特拉 and Carl Pomerance, "Primality Testing with Gaussian Periods （页面存档备份，存于互联网档案馆）", preliminary version July 20, 2005.

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