超越函数

在量纲分析里，超越函数是非常有用的，因为它们只在其引数无量纲时才有意义。因此，超越函数可以是量纲错误的显著来源。例如，${\displaystyle \log {(10{\mbox{cm}})}}$ 是个毫无意义的表示式。${\displaystyle \log {(10{\mbox{cm}})}}$ 不同于${\displaystyle \log {(5{\mbox{cm}}/3{\mbox{cm}})}}$ 和${\displaystyle (\log {10}){\mbox{cm}}}$ ，后两者是有实际意义的。利用对数恒等式，将${\displaystyle \log {(10{\mbox{cm}})}}$ 展开为${\displaystyle \log {10}+\log(1{\mbox{cm}})}$ 能够更清晰的说明该问题：一个有量纲的非代数运算会产生毫无意义的结果。

以下列出的函数都是超越函数：除了少数特殊的情况，对于一般的${\displaystyle x}$ 不能通过有限次代数运算求出${\displaystyle f(x)}$ ：

${\displaystyle f_{1}(x)=x^{\pi }}$ 

${\displaystyle f_{2}(x)=c^{x}\quad \left(c\neq 0,1\right)}$ 

${\displaystyle f_{3}(x)=x^{x}}$ 

${\displaystyle f_{4}(x)=x^{\frac {1}{x}}}$ 

${\displaystyle f_{5}(x)=\log _{c}x\quad \left(c\neq 0,1\right)}$ 

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