乒乓引理

使用乒乓引理的论证法可以追溯至19世纪后期，通常认为是菲利克斯·克莱因最先使用^[1]，他研究克莱因群的子群常常用到。雅克·蒂茨在他一篇1972年的文章中^[2]，证明著名的蒂茨两择性（Tits alternative）结果，一个主要工具就是乒乓引理。这结果指出任何有限生成的线性群，或是一个逼肖可解群（virtually solvable group），或是包含一个秩2的自由子群。乒乓引理及其引申结果广泛应用于几何拓扑学及几何群论。

设G为群，作用在集合X上，H₁和H₂是G的非平凡子群，H是H₁和H₂生成的群。若X有两个不交非空子集X₁和X₂，使得

• 对所有${\displaystyle 1\neq a\in H_{1}}$ ，都有${\displaystyle a(X_{2})\subset X_{1}}$ 
• 对所有${\displaystyle 1\neq b\in H_{2}}$ ，都有${\displaystyle b(X_{1})\subset X_{2}}$ 

则H是H₁和H₂的自由积，即${\displaystyle H=H_{1}*H_{2}}$ ，或者${\displaystyle \left|H_{1}\right|=\left|H_{2}\right|=2}$ ，而H是二面体群。

证明

设w是用H₁和H₂的元素写出的非空简约字。若${\displaystyle w=a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots a_{k}}$ ，其中${\displaystyle a_{i}\in H_{1}\setminus \{1\}}$ ，${\displaystyle b_{i}\in H_{2}\setminus \{1\}}$ ，则

${\displaystyle {\begin{aligned}w(X_{2})&=a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}b_{k-1}a_{k}(X_{2})\\&\subset a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}b_{k-1}(X_{1})\\&\subset a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}(X_{2})\\&\subset \cdots \subset X_{1}\end{aligned}}}$ 

故${\displaystyle w\neq 1}$ 。同上得${\displaystyle w=b_{1}a_{2}b_{2}a_{3}\cdots b_{k}\neq 1}$ 。

若H₁和H₂的阶不都等于2，不失一般性，假设${\displaystyle \left|H_{1}\right|>2}$ 。若${\displaystyle w=a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots b_{k}}$ ，取${\displaystyle a\in H_{1}\setminus \{1,a_{1}\}}$ ，则${\displaystyle 1\neq aa_{1}\in H_{1}}$ ，故由上可知

${\displaystyle awa^{-1}=aa_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots b_{k}a^{-1}\neq 1}$ ，

得${\displaystyle w\neq 1}$ 。若${\displaystyle w=b_{1}a_{2}b_{2}\cdots a_{k}}$ ，取${\displaystyle a\in H_{1}\setminus \{1,a_{k}\}}$ ，则${\displaystyle 1\neq a_{k}a^{-1}\in H_{1}}$ ，同上可得${\displaystyle awa^{-1}\neq 1}$ ，故${\displaystyle w\neq 1}$ 。因此得出${\displaystyle H=H_{1}*H_{2}}$ 。

若${\displaystyle \left|H_{1}\right|=\left|H_{2}\right|=2}$ ，令${\displaystyle H_{1}=\{1,a\}}$ ，${\displaystyle H_{2}=\{1,b\}}$ 。从上可知若有以a, b写出的非空简约字w等于1，则w只可能是${\displaystyle ab\cdots ab}$ 或${\displaystyle ba\cdots ba}$ ，故对某些数n > 0有${\displaystyle (ab)^{n}=1}$ 。取其最小者的值为n，则H为二面体群${\displaystyle D_{2n}}$ 。若无如此简约字w，则${\displaystyle H=H_{1}*H_{2}}$ 。

推广

乒乓引理可以推广至数个子群的情形：

设G为群，作用在集合X上。又设H₁, H₂, ... , H_k是G的非平凡子群，且当中至少一个的阶不小于3。若X有两两不交的非空子集X₁, X₂, ... , X_k，使得当${\displaystyle i\neq j}$ 时，对所有${\displaystyle 1\neq a\in H_{i}}$ ，都有${\displaystyle a(X_{j})\subset X_{i}}$ 。则H₁, H₂, ... , H_k所生成的群是其自由积，即

${\displaystyle \langle H_{1},\cdots ,H_{k}\rangle =H_{1}*H_{2}*\cdots *H_{k}}$ 。

这条定理的证明与两个子群时的证明类似。

特殊线性群

矩阵${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}}$ 和${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}}$ 在特殊线性群${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$ 中生成的子群是秩2的自由群。

证明

群${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$ 以线性变换作用在平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 上。 设这两个矩阵各自生成子群

${\displaystyle H_{1}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}}$ 

${\displaystyle H_{2}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}}$ 

又设平面的两个不交子集为

${\displaystyle X_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|>|y|\right\}}$ 

${\displaystyle X_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<|y|\right\}}$ 

H₁, H₂都同构于无限循环群。因为H₁, H₂, X₁, X₂适合乒乓引理的条件，由乒乓引理得出H₁, H₂生成的群为其自由积，而两个无限循环群的自由积为秩2的自由群。

• Lyndon, Roger; Schupp, Paul. Combinatorial Group Theory. Classics in Mathematics. Germany: Springer-Verlag. 2001: 167 [1977]. ISBN 3-540-41158-5.  引文使用过时参数coauthors (帮助)