巴都万数列

• ${\displaystyle P_{n}=P_{n-1}+P_{n-5}}$ （此关系可从图中见得）
• ${\displaystyle P_{n}=P_{n-2}+P_{n-4}+P_{n-8}}$ 
• ${\displaystyle P_{n}=P_{n-3}+P_{n-4}+P_{n-5}}$ 
• ${\displaystyle P_{n}=P_{n-4}+P_{n-5}+P_{n-6}+P_{n-7}+P_{n-8}}$ 

佩兰数列满足相同的递推关系。它亦可从巴都万数列定义： ${\displaystyle Perrin_{n}=P_{n+1}+P_{n-10}}$ 

使用递推关系${\displaystyle P_{-n}=P_{-n+3}-P_{-n+1}}$ 可将巴都万数列推广到负数项。这样的定义跟将斐波那契数推广到反斐波那契数列相似。另一方面，反斐波那契数列取绝对值便和斐波那契数列相等，但反巴都万数列却不：

... -7, 4, 0, -3, 4, -3, 1, 1, -2, 2, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1 ...

首${\displaystyle n}$ 项（包括第0项）之和比${\displaystyle P_{n+5}}$ 少2：

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{m}=P_{n+5}-2.}$ 

下面是每隔数项的和：

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{2m}=P_{2n+3}-1}$ 

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{2m+1}=P_{2n+4}-1}$ 

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{3m}=P_{3n+2}}$ 

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{3m+1}=P_{3n+3}-1}$ 

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{3m+2}=P_{3n+4}-1}$ 

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{5m}=P_{5n+1}.}$ 

下面的恒等式跟项与项的乘积之和有关：

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{m}^{2}=P_{n+2}^{2}-P_{n-1}^{2}-P_{n-3}^{2}}$ 

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{m}^{2}P_{m+1}=P_{n}P_{n+1}P_{n+2}}$ 

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{m}P_{m+2}=P_{n+2}P_{n+3}-1.}$ 

${\displaystyle P_{n}^{2}-P_{n+1}P_{n-1}=P_{-n-7}.}$ 

巴都万数列跟二项式系数之和有关：

${\displaystyle \sum _{2m+n=k}{m \choose n}=P_{k-2}.}$ 

${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$ 有三个根：唯一的实数根${\displaystyle p}$ （即银数）和两个复数根${\displaystyle q}$ 和${\displaystyle r}$ 。

${\displaystyle P_{n}={\frac {p^{n}}{\left(3p^{2}-1\right)}}+{\frac {q^{n}}{\left(3q^{2}-1\right)}}+{\frac {r^{n}}{\left(3r^{2}-1\right)}}.}$ 

因为${\displaystyle q}$ 和${\displaystyle r}$ 的绝对值都少于1，当${\displaystyle n}$ 趋近无限，其幂会趋近0。因此，对于很大的${\displaystyle n}$ ，可以以下面的公式估计：

${\displaystyle P_{n}\approx {\frac {p^{n}}{\left(3p^{2}-1\right)}}={\frac {p^{n}}{4.264632...}}.}$ 

从上面的公式亦知${\displaystyle {\frac {P_{n+1}}{P_{n}}}}$ 的值趋近银数。

${\displaystyle P_{n}}$ 可以用不同的整数分拆来定义。

• ${\displaystyle P_{n}}$ 是将${\displaystyle n+2}$ 写成一个有序、每项是2或3的和式的方法的数目。例如${\displaystyle P_{6}=4}$ ，有4种方法将8写成这类和式：

2+2+2+2 ; 2+3+3 ; 3+2+3 ; 3+3+2

• ${\displaystyle P_{2n-2}}$ 是将${\displaystyle n}$ 写成一个有序且式中没有项为2的和式的方法的数目。例如${\displaystyle P_{5\times 2-2}=P_{8}=7}$ ，有7种方法将5写成这类和式：

1+1+1+1+1 ; 1+1+3 ; 1+3+1 ; 3+1+1 ; 4+1 ; 1+4 ; 5

• ${\displaystyle P_{n}}$ 是将${\displaystyle n}$ 写成一个有序且“回文型”且式中没有项为2的和式的方法的数目。例如${\displaystyle P_{9}=9}$ ，有9种方法将9写成这类和式：

9 ; 1+7+1 ; 1+1+5+1+1 ; 1+1+1+3+1+1+1 ; 1+1+1+1+1+1+1+1+1; 3+3+3 ; 4+1+4 ; 3+1+1+1+3; 1+3+1+3+1

• 若上述情况改为${\displaystyle P_{8}=8}$ ，则数列如下：

1+1+1+1+1+1+1+1: 4+4; 3+1+1+3; 1+3+3+1; 1+1+4+1+1; 1+6+1; 8

• ${\displaystyle P_{n}}$ 是将${\displaystyle n+4}$ 写成一个有序的、每项除以3都余2的和式的方法的数目。例如${\displaystyle P_{7}=5}$ ，有5种方法将11写成这类和式：

11 ; 2+2+2+5 ; 2+2+5+2 ; 2+5+2+2 ; 5+2+2+2

巴都万数列的生成函数为

${\displaystyle G(P_{n};x)={\frac {1+x}{1-x^{2}-x^{3}}}.}$ 

它可以用于证明巴都万数跟几何级数的项的积的等式，例如：

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {P_{n}}{2^{n}}}={\frac {12}{5}}.}$ 

巴都万数列可以一般化成一个多项式的集。

${\displaystyle P_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=0\\x,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=1\\x^{2},\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=2\\xP_{n-2}(x)+P_{n-3}(x),&{\mbox{if }}n\geq 3\end{matrix}}\right.}$ 

首七个巴都万多项式为：

${\displaystyle P_{0}(x)=1\,}$ 

${\displaystyle P_{1}(x)=x\,}$ 

${\displaystyle P_{2}(x)=x^{2}\,}$ 

${\displaystyle P_{3}(x)=x^{2}+1\,}$ 

${\displaystyle P_{4}(x)=x^{3}+x\,}$ 

${\displaystyle P_{5}(x)=x^{3}+x^{2}+x\,}$ 

${\displaystyle P_{6}(x)=x^{4}+2x^{2}+1\,}$ 

${\displaystyle P_{7}(x)=x^{4}+2x^{3}+x^{2}+x\,}$ 

第${\displaystyle n}$ 个巴都万数即${\displaystyle P_{n}(1)}$ 。

• 奇偶性：按“奇奇奇偶偶奇偶”的组合重复出现。
• 数列中的素数：${\displaystyle P_{3,4}=2;P_{5}=3;P_{7}=5;P_{8}=7;P_{14}=37;P_{19}=151;P_{30}=3329;P_{37}=23833;...}$ （OEIS:A000931）
• 数列中的平方数：${\displaystyle P_{0,1,2}=1;P_{6}=2^{2};P_{9}=3^{2};P_{11}=4^{2};P_{15}=7^{2}}$ 

• Padovan Sequence （页面存档备份，存于互联网档案馆）（MathWorld）
• Tales of a Neglected Number，艾恩·史都华在杂志发表的文章
• 学生科技网--中学生科技：美丽的螺旋线 黄金分割漫谈之三，李颍伯
• Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Richard Padovan