佩兰数列

考虑数列中${\displaystyle n|P_{n}}$ 的数，有1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...除掉1外，这些数都是质数。

已经证明了对于所有质数，${\displaystyle p|P_{p}}$ 。但其逆定理并不成立，这样的合成数称为佩兰伪质数，最小的一个是${\displaystyle 271441=521^{2}}$ 。（OEIS:A013998）

此数列早于1878年就被爱德华·卢卡斯研究（American Journal of Mathematics, vol 1, page 230ff）。1899年R. Perrin（L'Intermediaire Des Mathematiciens）又再研究。对此数列较详尽的研究是Dan Shanks及Bill Adams在1982年发表的论文（Mathematics of Computation, vol 39, n. 159）。

佩兰数列的生成函数为：

${\displaystyle G(P(n);x)={\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}-x^{3}}}.}$ 

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}^{n}*{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P\left(n+2\right)&P\left(n+1\right)&P\left(n\right)\end{pmatrix}}}$ 

和巴都万数列一样，佩兰数列的一般形式也和方程${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$ 的三个根有关：实根${\displaystyle p}$ （即银数）和两个复数根${\displaystyle q}$ 、${\displaystyle r}$ 。

${\displaystyle P_{n}=p^{n}+q^{n}+r^{n}}$ 。

因为${\displaystyle q}$ 、${\displaystyle r}$ 的绝对值少于1，在${\displaystyle n}$ 很大的时候会很接近0，可以忽略：${\displaystyle P_{n}\approx p^{n}}$ 。显然易见两个连续佩兰数之比会以银数为极限，即约1.324718。