佩兰数列

在数学上,佩兰数列是一个整数数列,由起始数值递归关系定义。

首数个值为3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, ... (OEIS:A001608

佩兰数列的递归关系和巴都万数列一模一样,只是起始值不同而已。

佩兰伪质数

考虑数列中 的数,有1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...除掉1外,这些数都是质数。

已经证明了对于所有质数, 。但其逆定理并不成立,这样的合成数称为佩兰伪质数,最小的一个是 。(OEIS:A013998

历史

此数列早于1878年就被爱德华·卢卡斯研究(American Journal of Mathematics, vol 1, page 230ff)。1899年R. Perrin(L'Intermediaire Des Mathematiciens)又再研究。对此数列较详尽的研究是Dan Shanks及Bill Adams在1982年发表的论文(Mathematics of Computation, vol 39, n. 159)。

生成函数

佩兰数列的生成函数为:

 

矩阵形式

 

估计值

巴都万数列一样,佩兰数列的一般形式也和方程 的三个根有关:实根 (即银数)和两个复数根  

 

因为  的绝对值少于1,在 很大的时候会很接近0,可以忽略: 。显然易见两个连续佩兰数之比会以银数为极限,即约1.324718。