半完全数

数论中,半完全数(或称半完美数伪完全数伪完美数)是完全数的推广。如果一个正整数自身的全部或一部分真因数的和等于此数自身,则称其为半完全数。显然,所有完全数都是半完全数,半完全数不可能是亏数。一部分过剩数也是半完全数。不是半完全数的过剩数称为奇异数

前几个半完全数是:

6121820242830364042……OEISA005835

特点

  • 半完全数的倍数还是半完全数[1]。若半完全数不能被所有更小的半完全数整除,称为本原半完全数
  • m为自然数,p是奇数的素数,使得p < 2m + 1,则2mp也是半完全数。
    • 特别是每一个符合2m(2m + 1 − 1)的整数也是半完全数,若2m + 1 − 1为梅森素数,2m(2m + 1 − 1)会是完全数。
  • 最小的奇数半完全数是945(由Friedman在1993年发现)
  • 半完全数会是完全数或是丰数。不是半完全数的丰数会称为奇异数
  • 除了2以外,每一个本原伪完全数都是半完全数。
  • 每一个不是2次幂的实际数都是半完全数。
  • 半完全数集合的自然密度存在[2]

脚注

  1. ^ Zachariou+Zachariou (1972)
  2. ^ Guy (2004) p. 75

参考资料

参见