半完全数

在数论中，半完全数（或称半完美数、伪完全数、伪完美数）是完全数的推广。如果一个正整数自身的全部或一部分真因数的和等于此数自身，则称其为半完全数。显然，所有完全数都是半完全数，半完全数不可能是亏数。一部分过剩数也是半完全数。不是半完全数的过剩数称为奇异数。

前几个半完全数是：

6、12、18、20、24、28、30、36、40、42……OEIS A005835

特点

  • 半完全数的倍数还是半完全数[1]。若半完全数不能被所有更小的半完全数整除，称为本原半完全数。
  • 若m为自然数，p是奇数的素数，使得p < 2m + 1，则2mp也是半完全数。
    • 特别是每一个符合2m(2m + 1 − 1)的整数也是半完全数，若2m + 1 − 1为梅森素数，2m(2m + 1 − 1)会是完全数。
  • 最小的奇数半完全数是945（由Friedman在1993年发现）
  • 半完全数会是完全数或是丰数。不是半完全数的丰数会称为奇异数。
  • 除了2以外，每一个本原伪完全数都是半完全数。
  • 每一个不是2次幂的实际数都是半完全数。
  • 半完全数集合的自然密度存在[2]

脚注

  1. ^ Zachariou+Zachariou (1972)
  2. ^ Guy (2004) p. 75

参考资料

参见