实际数

实际数practical number)是指一正整数n有许多约数,所有小于n的正整数都可以用数个n的相异真约数和表示。例如12的真约数有1, 2, 3, 4及6,而1至11的数字中有几个不是12的真约数,但都可以表示为数个相异真约数的和:5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1及11=6+3+2。

以下是实际数的列表(OEIS数列A005153):1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....

12,13世纪的意大利数学家斐波那契在其著作《计算之书》(Liber Abaci)中,在说明如何用埃及分数的和表示有理数时有用到实际数。斐波那契没有正式的定义实际数,但其中有一个表,其中有许多分数的分母为实际数[1]

实际数(practical number)一词最早是由Srinivasan在1948年开始使用,他希望可以找出有这类性质的数字[2],此工作后来在1955年由Stewart和Sierpiński完成[3][4]。利用正整数的素因数分解可以判断是否是实际数,所有2的幂及偶数的完全数都是实际数。

已发现实际数和素数有许多类似的特质[5][6][7][8]

实际数的充份必要条件

一个正整数可以由其素因数分解看出是否是实际数[3][4],一正整数 ,其中 ,素因数为 ,其为实际数当且仅当 ,且对于每个2到k之间的i

 

其中 x除数函数

例如3 ≤ σ(2)+1 = 4,29 ≤ σ(2 × 32)+1 = 40,及823 ≤ σ(2 × 32 × 29)+1=1171,因此2 × 32 × 29 × 823 = 429606为一实际数。

由于以上条件成立时,才能用其他较小的约数和表示 ,因此是一正数为实际数的必要条件。上述条件也是一正数为实际数的充份条件。

和其他数列的关系

所有2的幂都是实际数[2]。2的幂的素因数分解满足实际数的充份必要条件:第一个素因数为2。所有偶数的完全数也都是实际数[2]:依照欧拉的研究,偶数的完全数可以表示为2n − 1(2n − 1),其奇数的素因数可以用其他偶数部分的除数函数来表示,因此也满足实际数的充份必要条件。

任一个素数阶乘也都是实际数[2]。根据伯特兰-切比雪夫定理,素数阶乘中最大的素数会小于次大素数和最小素数(2)的乘积,因此满足实际数的充份必要条件。前k个素数幂次的乘积也都是实际数,包括阶乘以及斯里尼瓦瑟·拉马努金提出的高合成数[2]

和埃及分数的关系

n为实际数,则小于1的有理数m/n可以表示∑di/n来表示,其中din的相异约数,此式的每一项都可以化简为单位分数,因此此式即为m/n埃及分数表示式。例如

 

斐波那契在其著作《计算之书》(Liber Abaci)中列出许多用埃及分数表示有理数的方式,首先先确认分数是否可以直接化简为单位分数,再来则是设法将分子表示为分母约数的和,此方式只在分母为实际数时有效[1]。斐波那契列出了分母为6, 8, 12, 20, 24, 60及100时,分数用埃及分数表示时的表示式。

和素数的类似之处

实际数特别的一点是其许多性质都类似素数。例如假设p(x)为小于x实际数的个数,Saias证明存在常数c1c2使得下式成立[8]

 

以上公式可以对应素数的素数定理。此证明解答了Margenstern的猜想:存在特定常数c,使得p(x)渐近于cx/log x[6]。也强化了保罗·埃尔德什所提出:实际数在正整数中的密度为0的论点[9]

实际数也有对应哥德巴赫猜想孪生素数猜想的定理:每一个偶数可以表示为二个实际数的和,以及存在无限多个 x − 2, xx + 形式的实际数[7]。Melfi也证明在斐波那契数列中存在无限多个实际数,素数对应的问题是是否存在无限多个斐波那契素数,此问题仍为开放问题,还没有被证明,但也还找不到反例。Hausman及Shapiro证明若x为正实数,在[x2,(x + 1)2]区间内存在实际数,可以对应素数中的勒让德猜想[5]

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 Sigler, Laurence E. (trans.), Fibonacci's Liber Abaci, Springer-Verlag: 119–121, 2002, ISBN 0-387-95419-8 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Srinivasan, A. K., Practical numbers (PDF), Current Science, 1948, 17: 179–180 [2013-01-13], MR 0027799, (原始内容存档 (PDF)于2019-11-16) 
  3. ^ 3.0 3.1 Stewart, B. M., Sums of distinct divisors, American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press), 1954, 76 (4): 779–785, JSTOR 2372651, MR 0064800, doi:10.2307/2372651 
  4. ^ 4.0 4.1 Sierpiński, Wacław, Sur une propriété des nombres naturels, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 1955, 39 (1): 69–74, doi:10.1007/BF02410762 
  5. ^ 5.0 5.1 Hausman, Miriam; Shapiro, Harold N., On practical numbers, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1984, 37 (5): 705–713, MR 0752596, doi:10.1002/cpa.3160370507 
  6. ^ 6.0 6.1 Margenstern, Maurice, Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures, Journal of Number Theory, 1991, 37 (1): 1–36, MR 1089787, doi:10.1016/S0022-314X(05)80022-8 
  7. ^ 7.0 7.1 Melfi, Giuseppe, On two conjectures about practical numbers, Journal of Number Theory, 1996, 56 (1): 205–210, MR 1370203, doi:10.1006/jnth.1996.0012 
  8. ^ 8.0 8.1 Saias, Eric, Entiers à diviseurs denses, I, Journal of Number Theory, 1997, 62 (1): 163–191, MR 1430008, doi:10.1006/jnth.1997.2057 
  9. ^ Erdős, Paul; Loxton, J. H., Some problems in partitio numerorum, Journal of the Australian Mathematical Society (Series A), 1979, 27 (03): 319–331, doi:10.1017/S144678870001243X 

外部链接