连续性方程

微分形式

一般的连续性方程，其微分形式为

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {f} =s}$  ；

其中，${\displaystyle \varphi }$  是某物理量 ${\displaystyle q}$  的密度（物理量每单位体积），${\displaystyle \mathbf {f} }$  是 ${\displaystyle q}$  的流量密度（物理量每单位面积每单位时间）的向量函数（vector function），${\displaystyle s}$  是 ${\displaystyle q}$  的生成量每单位体积每单位时间。

假若 ${\displaystyle s>0}$  则称 ${\displaystyle s}$  为“源点”；假若 ${\displaystyle s<0}$  则称 ${\displaystyle s}$  为“汇点”。假设 ${\displaystyle \varphi }$  是守恒量，不能够生成或湮灭（例如，电荷），则 ${\displaystyle s=0}$  ，连续性方程变为

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {f} =0}$  。

从简单的“能量连续性方程”到复杂的纳维-斯托克斯方程，这方程可以用来表示任意连续性方程。这方程也是平流方程（advection equation）的推广。

其它物理学里的方程，像电场的高斯定律或高斯重力定律（Gauss' law for gravity），都具有类似连续性方程的数学形式，但是通常不会称为连续性方程，因为 ${\displaystyle \mathbf {f} }$  并不代表真实物理量的流动。

积分形式

根据散度定理，连续性方程可以写为等价的积分形式：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =S}$  ；

其中，${\displaystyle \mathbb {S} }$  是包住体积 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  的任意固定（不随时间改变）闭曲面，${\displaystyle Q}$  是在体积 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  内的 ${\displaystyle q}$  总量，${\displaystyle S=\int _{\mathbb {V} }s\ \mathrm {d} ^{3}r}$  是在积分体积 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  内源点与汇点的总生成量每单位时间，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} }$  是微小面向量积分元素。

举一简例，假设 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  是台北101大楼，${\displaystyle Q}$  是在大楼内某时间的总人数，${\displaystyle \mathbb {S} }$  是由门口、墙壁、屋顶、地基等等，共同组成的曲面，则连续性方程表明，当人们进入大楼时（代表穿过曲面的内向通量），或当大楼里面的孕妇生产时（代表源点的 ${\displaystyle s>0}$  ），在大楼里面的总人数会增加；而当人们离开大楼时（代表穿过曲面的外向通量），在大楼里面的总人数会减少。

在电磁理论里，连续性方程可以视为一条经验定律，表达局域电荷守恒，或是从麦克斯韦方程组推导出的结果。“电荷连续性方程”表明，电荷密度 ${\displaystyle \rho }$  的变率与电流密度 ${\displaystyle \mathbf {J} }$  的散度，两者的代数和等于零：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}$  。

麦克斯韦-安培方程满足局域电荷守恒的连续性方程

麦克斯韦-安培方程为

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\ \epsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}}$  ；

其中，${\displaystyle \mathbf {B} }$  是磁场，${\displaystyle \mathbf {E} }$  是电场，${\displaystyle \mu _{0}}$  是磁常数，${\displaystyle \epsilon _{0}}$  是电常数。

取散度于方程的两边，由于旋度的散度必是零，

${\displaystyle 0=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}}$  。

高斯定律的方程为

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}}$  。

将这方程代入，可以得到

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}$ 。

电流是电荷的流量。连续性方程可以这样论述：假若电荷从某微小体积元素移动出去（电流密度的散度是正值），则在那微小体积元素内的总电荷量会减少，电荷密度的变率是负值。从这解释可以察觉，连续性方程就是电荷守恒。

四维电流

四维电流密度定义为

${\displaystyle J^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (c\rho ,\mathbf {J} )=(c\rho ,J_{x},J_{y},J_{z})}$  ；

其中，${\displaystyle \alpha }$  标记哪一个时空坐标，${\displaystyle c}$  是光速。

电荷守恒可以简洁地表达为四维电流密度的散度，即连续性方程

${\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=0}$  ；

其中，${\displaystyle \partial _{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\partial }{\partial r^{0}}},{\frac {\partial }{\partial r^{1}}},{\frac {\partial }{\partial r^{2}}},{\frac {\partial }{\partial r^{3}}}\right)=\left({\frac {\partial }{c\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$  。

在流体力学里，连续性方程表明，在任何稳定态过程中，质量进入物理系统的速率等于离开的速率。^[1][2]。连续性方程类比于电路学的基尔霍夫电流定律。“质量连续性方程”的微分形式为^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$ ；

其中，${\displaystyle \rho }$  是流体质量密度，${\displaystyle \mathbf {u} }$  是流速向量场，两者相乘后为质量通量。

假设流体是不可压缩流，则密度 ${\displaystyle \rho }$  是常数，质量连续性方程简化为体积连续性方程：^[1]

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {u} )=0}$  。

这意味着，在所有位置，速度场的散度等于零；也就是说，局域的体积变率为零。

在另一方面，纳维-斯托克斯方程是一个向量连续性方程，描述动量守恒。

根据能量守恒，能量只能够传输，不能够生成或湮灭，这导致“能量连续性方程”。这是在热力学定律（Laws of thermodynamics）外，又一种关于能量守恒的数学论述。以方程表达，

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {q} =0}$  ；

其中，${\displaystyle u}$  是能量密度（能量每单位体积），${\displaystyle q}$  是能量通量向量（数值大小为传输的能量每单位截面面积每单位时间，方向为截面的法向方向）。

根据傅里叶定律（Fourier's law），对于均匀传导介质，

${\displaystyle \mathbf {q} =-k\nabla T}$  ；

其中，${\displaystyle k}$  是热导率，${\displaystyle T}$  是温度函数。

能量连续性方程又可写为

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-k\nabla ^{2}T=0}$  。

在量子力学里，从概率守恒可以得到“概率连续性方程”。设定一个量子系统的波函数为 ${\displaystyle \Psi (x,t)}$  。定义概率流 ${\displaystyle \mathbf {J} }$  为

${\displaystyle \mathbf {J} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi )}$  ；

其中，${\displaystyle \hbar }$  是约化普朗克常数，${\displaystyle m}$  是质量，${\displaystyle \Psi ^{*}}$  是 ${\displaystyle \Psi }$  是共轭复数，${\displaystyle {\mbox{Im}}()}$  是取括弧内项目的复值。

连续方程与概率保守定律

概率流满足量子力学的连续方程：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0}$  ；

其中，${\displaystyle \rho =|\Psi |^{2}}$  是概率密度。

应用高斯公式，等价地以积分方程表示，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\mathrm {d} ^{3}{r}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {a} }=0}$  ；(1)

其中，${\displaystyle \mathbb {V} }$  是任意三维区域，${\displaystyle \mathbb {S} }$  是 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  的边界曲面。

这就是量子力学概率守恒定律的方程。

方程 (1) 左边第一个体积积分项目（不包括对于时间的偏微分），即是测量粒子位置时，粒子在 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  内的概率。第二个曲面积分是概率流出 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  的通量。总之，方程 (1) 表明，粒子在三维区域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  内的概率对于时间的微分，加上概率流出三维区域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  的通量，两者的总和等于零。

连续方程导引

测量粒子在三维区域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  内的概率 ${\displaystyle P}$  是

${\displaystyle P=\int _{\mathbb {V} }\rho \,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }$  。

概率对于时间的导数是

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=\int _{\mathbb {V} }\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$  ；(2)

假设 ${\displaystyle \Psi }$  的含时薛定谔方程为

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi }$  ；

其中，${\displaystyle U(\mathbf {r} )}$  是位势。

将含时薛定谔方程代入方程 (2) ，可以得到

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$  。

应用一则向量恒等式，可以得到

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\boldsymbol {\nabla }}\Psi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}}$  。

这方程右手边第一个项目与第三个项目互相抵销，将抵销后的方程代入，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$  。

将概率密度方程与概率流定义式代入，

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=-\int _{\mathbb {V} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$  。

这相等式对于任意三维区域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  都成立，所以，被积项目在任何位置都必须等于零：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0}$  。

• 欧拉方程
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