守恒量

经典力学里,对于一个动力系统,随着时间的演进,所有保持不变的物理量都称为守恒量conserved quantity),又称为运动常数[1]由于很多物理定律会表达某种守恒行为,对应的守恒量时常会出现于真实系统。例如,假设在某系统内涉及的作用力保守力,则此系统的能量是守恒量。假设涉及的作用力是有心力,则此系统的角动量是守恒量。

动量

根据动量守恒定律,假若一个粒子所感受到的外力,其总向量和为零,则这粒子的动量保持不变,是一个守恒量。在这状况下,粒子会呈匀速运动或著静止不变。[2]以方程表达,假设粒子感受到的合外力为零:

 

根据牛顿第二定律,合外力与动量   的关系式为

 

所以,动量是一个常数,是一个守恒量。

角动量

根据角动量守恒定律,假若一个粒子所感受到的外力矩,其其总向量和为零,则这粒子的角动量保持不变,是一个守恒量。在这状况下,粒子会呈匀角运动或直线运动。[2]以方程表达,假设粒子感受到的合外力矩   为零:

 

合外力矩与角动量   的关系式为

 

所以,角动量是一个常数,是一个守恒量。

能量

在经典力学里,粒子的能量定义为动能势能的代数和。根据能量守恒定律,假若一个粒子所感受到的外力都是保守力,则这粒子的能量保持不变,是一个守恒量。[2]以方程表达,能量   为动能   与势能   的代数和

 

粒子的动能与运动速度   的关系为

 

其中,  是粒子的质量

而对于保守系统,势能与净保守力   的关系为

 

能量对于时间的导数为

 

所以,能量是一个常数,是一个守恒量。

能量函数

思考一个物理系统,其拉格朗日量是动能   与势能   的差值:

 

通常,动能的参数为广义速度   (符号上方的点号表示对于时间  全导数),而势能的参数为广义坐标   ,所以,拉格朗日量的参数为  

这物理系统的运动轨道,以拉格朗日方程表示为

 

其中,  是时间。

拉格朗日量对于时间的全导数为

 

将拉格朗日方程代入,可以得到

 

定义“能量函数”  

 

则能量函数与拉格朗日量的关系为

 

假若拉格朗日量显性地与时间无关,   ,则能量函数是一个常数,是一个守恒量。设定   ,这常数   可以称为这物理系统的能量。因此,这物理系统的能量守恒

参阅

参考文献

  1. ^ Morin, David. Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley: pp. 2–5, 61, 312–324, 1980, ISBN 0201657023 (英语)