李雅普诺夫函数

令

${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ 

为标量函数。
若要${\displaystyle V}$ 为李雅普诺夫候选函数，函数${\displaystyle V}$ 需为局部正定函数，亦即

${\displaystyle V(0)=0\,}$ 

${\displaystyle V(x)>0\quad \forall x\in U\setminus \{0\}}$ 

其中 ${\displaystyle U}$  是 ${\displaystyle x=0}$  的邻域。

令

${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ 

${\displaystyle {\dot {y}}=g(y)\,}$ 

为一个自治的动力系统，其平衡点为${\displaystyle y^{*}\,}$ :

${\displaystyle 0=g(y^{*})\,}$ 

可利用${\displaystyle x=y-y^{*}\,}$  的坐标变换，使得

${\displaystyle {\dot {x}}=g(x+y^{*})=f(x)\,}$ 

${\displaystyle 0=f(x^{*})\quad \Rightarrow \quad x^{*}=0\,}$ 

在新的系统 ${\displaystyle f(x)}$  中，其平衡点为原点。

若系统的平衡点不是原点，可用上述的方式，变换为另一个平衡点为原点的系统，因此以下的说明中，均假设原点是系统的平衡点。

主条目：李雅普诺夫稳定性

令

${\displaystyle x^{*}=0\,}$ 

为以下自治系统的平衡点

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)\,}$ 

且令

${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {\partial V}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}=\nabla V{\dot {x}}=\nabla Vf(x)}$ 

为李雅普诺夫候选函数${\displaystyle V}$ 的时间导数。

稳定平衡点

若在平衡点的邻域${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ，李雅普诺夫候选函数${\displaystyle V}$ 为正定，且其时间导数半负定：

${\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq 0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}}$ 

则此平衡点为一稳定的平衡点。

局部渐近稳定平衡点

若在平衡点的邻域${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ，李雅普诺夫候选函数${\displaystyle V}$ 为正定，且其时间导数为负定：

${\displaystyle V(x)>0,{\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}}$ 

则此平衡点为一局部渐近稳定的平衡点。

全域渐近稳定平衡点

若李雅普诺夫候选函数${\displaystyle V}$ 为全域正定，其时间导数为全域负定：

${\displaystyle V(x)>0,{\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},}$ 

且${\displaystyle V}$ 满足以下的条件（称为“径向无界” radially unbounded）：

${\displaystyle \|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty }$ .

则此平衡点为一全域渐近稳定的平衡点。

• 常微分方程
• 控制李雅普诺夫函数

• 埃里克·韦斯坦因. Lyapunov Function. MathWorld. 
• Khalil, H.K. Nonlinear systems. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ. 1996. 
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• 李雅普诺夫稳定性的理论可延伸到许多领域，尤其是随机微扰的非线性系统: S. P. Meyn and R. L. Tweedie. Markov Chains and Stochastic Stability. London: Springer-Verlag, 1993. 编辑
  • Example 利用李雅普诺夫函数判别常微分方程平衡点稳定性的一些例子
  • Some Lyaponov diagrams