电磁波方程

在詹姆斯·麦克斯韦的1864年论文《电磁场的动力学理论》内，麦克斯韦将位移电流与其它已成立的电磁方程合并，因而得到了描述电磁波的波动方程。最令人振奋的是，这方程所描述的波动的波速等于光波的速度。他这样说^[1] ：

这些殊途一致的结果，似乎意味着光波与电磁波都是同样物质的属性，并且，光波是按照着电磁定律传播于电磁场的电磁扰动。
— 詹姆斯·麦克斯韦

在真空里，麦克斯韦方程组的四个微分方程为

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0\,\!}$ 、(1)

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!}$ 、(2)

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!}$ 、(3)

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}$ ；(4)

其中，${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$ 是真空磁导率，${\displaystyle \varepsilon _{0}\,\!}$ 是真空电容率。

分别取公式(2)、(4)的旋度，

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} )=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\,\!}$ 、

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {E} )=-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\,\!}$ 。

应用一则向量恒等式（这里，${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {V} }$ 应被理解为对V的每个分量取拉普拉斯算子，即拉普拉斯–德拉姆算子）

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} \,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$ 是任意向量函数。

将公式(1)、(3)代入，即可得到亥姆霍兹方程形式的波动方程：

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0\,\!}$ 、(5)

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0\,\!}$ ；(6)

其中，${\displaystyle c=c_{0}={1 \over {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\,\!}$  ［米／秒］是电磁波传播于自由空间的速度。

电磁四维势${\displaystyle A^{\mu }\,\!}$ 是由电势${\displaystyle \phi \,\!}$ 与矢量势${\displaystyle \mathbf {A} \,\!}$ 共同形成的，定义为

${\displaystyle A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )\,\!}$ 。

采用洛伦茨规范：

${\displaystyle {\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0\,\!}$ 。

前述那些齐次的波动方程(5)、(6)，可以按照反变形式写为

${\displaystyle \ \Box A^{\mu }=0\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \Box =\partial ^{\nu }\partial _{\nu }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\nu }\partial x^{\nu }}}={\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}\,\!}$ 是达朗贝尔算子，又称为四维拉普拉斯算子。

齐次的电磁波方程在弯曲时空中需要做两处修正，分别是将偏导数替换为协变导数，以及增加了一项有关时空曲率的项。假设洛伦茨规范在弯曲时空中的推广为

${\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0\,\!}$ 。

那么，弯曲时空中的齐次的波动方程为

${\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle {R^{\alpha }}_{\beta }\,\!}$ 是里奇曲率张量。

追根究底，局域化的含时电荷密度和电流密度是电磁波的波源。在有波源的情形下，麦克斯韦方程组可以写成一个非齐次的电磁波方程的形式。正是因为波源的存在，使得偏微分方程变为非齐次。

在齐次的电磁波方程中，电场和磁场的每一个分量都满足标量波动方程

${\displaystyle {\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2}f \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}f\ =\ 0\,\!}$ ；(7)

其中，${\displaystyle f\,\!}$ 是任意良态函数，

标量波动方程的一般解的形式为

${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}$ 是任意良态函数，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 是位置向量，${\displaystyle t\,\!}$ 是时间，${\displaystyle \mathbf {k} \,\!}$ 是波矢，${\displaystyle \omega \,\!}$ 是角频率。

函数${\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}$ 描述一个波动，随着时间的演化，朝着${\displaystyle \mathbf {k} \,\!}$ 的方向传播于空间。将函数${\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}$ 代入标量波动方程(7)，可得到角频率与波数的色散关系：

${\displaystyle \omega ^{2}=c^{2}k^{2}\,\!}$ ，

或者，角频率一定大于零，但波数可以是负值：

${\displaystyle \omega =c|k|\,\!}$ 。

正弦波

假设，函数${\displaystyle g\,\!}$ 的波形为正弦波：

${\displaystyle f=f_{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle {f}_{0}\,\!}$ 是实值波幅，${\displaystyle \phi _{0}\,\!}$ 是初相位。

根据欧拉公式，

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,\!}$ ，

函数${\displaystyle f\,\!}$ 也可以表达为一个复数的实值部分

${\displaystyle f=\operatorname {Re} \{f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}\}\,\!}$ 。

以上方加有波浪号的符号来标记复值变数。设定复值函数${\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}$ 为

${\displaystyle {\tilde {f}}=f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}={\tilde {f}}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}=f_{0}e^{i\phi _{0}}\,\!}$ 是复值波幅。

那么，

${\displaystyle f=\operatorname {Re} \{{\tilde {f}}\}\,\!}$ ；

标量波动方程的正弦波解的形式为${\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}$ 的实值部分。任意涉及实函数${\displaystyle f\,\!}$ 的线性方程，都可以用复函数${\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}$ 来代替${\displaystyle f\,\!}$ 。最后得到的复值答案，只要取实值部分，就可以得到描述实际物理的答案。但是，当遇到非线性方程，必须先转换为实值函数，才能够确保答案的正确性。

由于指数函数比三角函数容易计算，在很多场合，都可以使用这技巧。

线性叠加

任意波动${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)\,\!}$ 可以表达为一个无限集合的不同频率的正弦波的线性叠加：

${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\ d\omega \,\!}$ 。

所以，只要能得知单独频率的波动${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )\,\!}$ （单色波）的表达式，就可以求算整个波动${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)\,\!}$ 的表达式。

单色正弦平面波的解

从前面的分析，可以猜到齐次的电磁波方程的单色正弦平面波的解为：

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {E} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}$ 、

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {B} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}\,\!}$ 、${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}\,\!}$ 分别为复值电场${\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}}$ 和复值磁场${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}}$ 的复常数振幅向量。

这两个方程显示出正弦平面波的传播方向是${\displaystyle \mathbf {k} \,\!}$ 的方向。由于方程(1)和(3)，

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=0\,\!}$ 、

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}=0\,\!}$ ，

电场和磁场垂直于波矢，波动传播的方向。所以，电磁波是横波。

由于法拉第电磁感应定律方程(2)，

${\displaystyle \nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=\left(\nabla e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\right)\times {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=i\mathbf {k} \times {\tilde {\mathbf {E} }}=-{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {B} }}}{\partial t}}=i\omega {\tilde {\mathbf {B} }}\,\!}$ 。

将角频率与波数的色散关系式${\displaystyle \omega =ck\,\!}$ 带入：

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}={\frac {\mathbf {k} }{\omega }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {1}{c}}{\hat {\mathbf {k} }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}\,\!}$ 。

所以，电场与磁场相互垂直于对方；磁场的大小等于电场的大小除以光速。

电磁波谱分解

由于麦克斯韦方程组在真空里的线性性质，其解答可以分解为一集合的正弦波。将这集合的正弦波的叠加在一起，又可以形成原本的解答。这是傅里叶变换方法解析微分方程的基础概念。电磁波方程的正弦波解的形式为

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!}$ 、

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!}$ 。

波矢与角频率的关系为

${\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \lambda \,\!}$ 是波长。

按照波长长短，从长波开始，电磁波可以分类为电能、无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X-射线和伽马射线等等。普通实验使用的光谱仪就足以分析从2  奈米到2500 奈米波长的电磁波。使用这种仪器，可以得知物体、气体或甚至恒星的详细物理性质。这是天文物理学的必备仪器。例如，氢原子会发射波长为21.12公分的无线电波。

圆柱对称性解

如图右，思考一条由半径为${\displaystyle a\,\!}$ 的无穷长的直导线，和半径为${\displaystyle b\,\!}$ 的无穷长的圆柱导电管，所组成的共轴传输线。假设这传输线与z-轴平行。由于共轴传输线的内部有一条直导线，不是空心的，它可以传输${\displaystyle E_{z}=0\,\!}$ 和${\displaystyle B_{z}=0\,\!}$ 的电磁横波，采用圆柱坐标${\displaystyle (s,\phi ,z)\,\!}$ ，在传输线的内部空间，电场和磁场分别为^[2]

${\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {{\mathbf {E} }_{0}}{s}}\cos(kz-\omega t){\hat {s}}\,\!}$ 、

${\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}}{cs}}\cos(kz-\omega t){\hat {\phi }}\,\!}$ 。

这一组方程显示出电磁波方程的圆柱对称性解的一种形式。

球对称性解

思考一个位于原点的振荡中的磁偶极矩${\displaystyle m=m_{0}\cos(\omega t)\,\!}$ 。这磁偶极矩会发射出电磁波，从原点往无穷远辐射出去。采用球坐标${\displaystyle (r,\theta ,\phi )\,\!}$ ，则在离原点很远的位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ ，电场和磁场分别为^[2]

${\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{r}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\phi }}\,\!}$ 、

${\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{cr}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\theta }}\,\!}$ 。

这是一组满足电磁波方程的球面波方程。

理论与实验

应用领域