快乐数

快乐数有以下的特性：在给定的进位制下，该数字所有数字（英语：digits）的平方和，得到的新数再次求所有数字的平方和，如此重复进行，最终结果必为1。

以十进制为例：

2 8 → ${\displaystyle {{{2}^{2}}+{{8}^{2}}}=68}$ → ${\displaystyle {{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}=100}$ → ${\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}+{{0}^{2}}}=1}$

3 2 → ${\displaystyle {{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=13}$ → ${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=10}$ → ${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}=1}$

3 7 → ${\displaystyle {{{3}^{2}}+{{7}^{2}}}=58}$ → ${\displaystyle {{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}=89}$ → ${\displaystyle {{{8}^{2}}+{{9}^{2}}}=145}$ → ${\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{5}^{2}}}=42}$ → ${\displaystyle {{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=20}$ → ${\displaystyle {{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=4}$ → ${\displaystyle {{4}^{2}}=16}$ → ${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37}$${\displaystyle ......}$

5 6 → ${\displaystyle {{{5}^{2}}+{{6}^{2}}}=61}$ → ${\displaystyle {{{6}^{2}}+{{1}^{2}}}=37}$ → ${\displaystyle {{{3}^{2}}+{{7}^{2}}}=58}$ → ${\displaystyle {{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}=89}$ → ${\displaystyle {{{8}^{2}}+{{9}^{2}}}=145}$ → ${\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{5}^{2}}}=42}$ → ${\displaystyle {{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=20}$ → ${\displaystyle {{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=4}$ → ${\displaystyle {{4}^{2}}=16}$ → ${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37}$${\displaystyle ......}$

因此28和32是快乐数，而在37和56的计算过程中，数字会重复出现，继续计算的结果只会是上述数字的循环（不快乐数循环），不会出现1，因此37和56不是快乐数。

不是快乐数的数称为不快乐数（英语：unhappy number），所有不快乐数的数字平方和计算，最后都会进入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循环中。

在十进制下，100以内的快乐数有（OEIS数列A007770）：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共20个。