哈沙德数

哈沙德数(Harshad number)是可以在某个固定的进位制中,被各位数字之和(数字和)整除的整数

哈沙德数又称尼云数,是因为伊万·尼云在1997年一个有关数论的会议发表的论文。

若一个数无论在任何进位制中都是哈沙德数,称为全哈沙德数(全尼云数)。只有四个全哈沙德数:1, 2, 4, 6。(12在除八进制以外的进制中均为哈沙德数)

所有在零和进位制的底数之间的数都是哈沙德数。

除非是个位数,否则质数不是哈沙德数。

十进制中,100以内的哈沙德数OEISA0053491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100 ...

连续数个整数均为哈沙德数

Cooper和Kennedy在1993年证明了十进制里没有21个连续整数均是哈沙德数。[1][2]他们亦找到了最小20个连续整数都是哈沙德数的数列,它们大于1044363342786

1994年,H.G. Grundman 扩展了Cooper和Kennedy的结果,表明n进制中有无限多组连续2n个整数为哈沙德数,但并无连续2n+1个整数为哈沙德数[2][3]。1996年T. Cai 证明了以下的事实:在二进制存在无限多组连续四个整数为哈沙德数;在三进制存在无限多组六个整数为哈沙德数。[2]

密度

N(x)为小于或等于x哈沙德数的数目,对于任何给定的 ε > 0 ,Jean-Marie De KoninckNicolas Doyon发现:

 

De Koninck、Doyon和Katai证明:

 

c = 14/27 log 10 ≈ 1.1939 。

其他进制的哈沙德数

12进制:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10, 1A, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, A0, A1, B0, 100, 10A, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1A0, 1B0, 1BA, 200,...

多重哈沙德数

eg.6804是4重哈沙德数 6804/(6+8+0+4)=6804/18=378 378/(3+7+8)=378/18=21 21/(2+1)=21/3=7 7/7=1

  6804是4重哈沙德数

参考

  • H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quart. 32 (1994), 174-175
  • Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quart. Volume 41.5 (November 2003), 431-440
  • Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katai, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275
  1. ^ Cooper, Curtis; Kennedy, Robert E., On consecutive Niven numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1993, 31 (2): 146–151 [2021-10-13], ISSN 0015-0517, Zbl 0776.11003, (原始内容存档 (PDF)于2015-09-24) 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav. Handbook of number theory II . Dordrecht: Kluwer Academic. 2004: 382. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001. 
  3. ^ Grundman, H. G., Sequences of consecutive n-Niven numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1994, 32 (2): 174–175 [2021-10-13], ISSN 0015-0517, Zbl 0796.11002, (原始内容存档 (PDF)于2015-09-24)