希洛西七面体

希洛西七面体是一种可以对应到拓扑环面的非凸多面体（英语：Nonconvex polyhedron）。这个多面体中间有一个孔洞[1]，由7个不等边六边形面组成，且每个面与其他6个面相邻。因此，可用七种颜色来涂满每个相邻的面，是七色定理的下限。[2]

希洛西七面体
希洛西七面体
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类别环形多面体（英语：Toroidal_polyhedron）
对偶多面体恰萨尔十四面体在维基数据编辑
性质
面7
边21
顶点14
欧拉特征数F=7, E=21, V=14 （χ=0）
亏格1
组成与布局
面的种类6个凹六边形
1个凸六边形
面的布局
（英语：Face configuration）		6.6.6
对称性
对称群C1, [ ]+, (11)
特性
非凸
图像
立体图
Csaszar polyhedron 3D model.svg
恰萨尔十四面体
（对偶多面体） 		Net of szilassi polyhedron.svg
（展开图）
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历史

希洛西七面体于1977年由拉约什·希洛西（英语：Lajos Szilassi）发现。[3][4][1] 其对偶多面体的发现比原始立体（希洛西七面体）来的早，其对偶多面体为恰萨尔十四面体，由阿科斯·恰萨尔（英语：Ákos Császár）于1949年发现，其具有7个顶点、21条边和14个面，且与希洛西七面体一样皆具有环面结构。[5]

性质

希洛西七面体是一个凹七面体，由7个面、21条边和14个顶点组成[6]:233，每个顶点都是3个面的公共顶点，并且可以分为7组[7]。

希洛西七面体可以视为是嵌入到环面的希伍德图（英语：Heawood graph）[4]，反之，希伍德图为希洛西七面体的骨架图。[8]

表面涂色与对称性

希洛西七面体每个面都与其余6个面相邻，因此若需要将这个立体上色且相邻面皆不同颜色需要7种颜色，因此这个立体也给出了七色定理的下限。这个立体有1个180度的对称轴。[4][9]

面的组成

在组成希洛西七面体的面中，有三对全等的凹六边形面和一个不成对的凸六边形面，[7]同时这个凸六边形的面与整个立体的旋转对称性相同。[4]

成对的面
     
不成对的面
 

顶点坐标

若希洛西七面体的最短边长为单位长，且几何中心位于原点时，此时14顶点坐标分别为：[10][6][11]

(±12,0,12)、(0,±12.6,-12)、(2,-5,-8)、(-2,5,-8)、(3.75,3.75,-3)、(-3.75,-3.75,-3)、(4.5,-2.5,2)、(-4.5,2.5,2)、(±7,0,2)、(7,2.5,2)、(-7,-2.5,2)。

其中，有正负号者代表两个顶点。在这样的顶点配置下，希洛西七面体21条边中共有12个不同的边长，分别为： （2条）、 （2条）、 （2条）、 （2条）、 （2条）、 、 （2条）、 （2条）、 （2条）、 （2条）、 和 。[7]

完全面邻接关系

未解决的数学问题：是否存在超过7个面的多面体，每个面都与其他所有面相邻？  

希洛西七面体和四面体是已知两种每个面都与其他面相邻的非退化多面体。[2][12]若一个f个面的多面体嵌入到有h个孔洞的环面上，且每个面都与其他面相邻，则其部分的欧拉特征数会具有以下关系：[2]

 

对于零个孔、四个面（h=0、f=4）的四面体和1个孔、7个面（h=1、f=7）的希洛西七面体都满足这个方程。 下一个可能的整数解是6个孔、12个面（h=6、f=12）具有44个顶点和66个条边的多面体。然而目前并不知道是否存在实体的多面体满足这个特性，而非仅能以抽象多面体的方式存在。更一般地，当f除以12余0、3、4或7时，都能满足上述等式。[13][14]

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 Peterson, Ivars, A polyhedron with a hole, MathTrek, Mathematical Association of America, 2007 [2013-03-03], （原始内容存档于2013-07-02） .
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Ace, Tom, The Szilassi polyhedron, [2013-03-03], （原始内容存档于2016-09-07） 
  3. ^ Gardner, Martin, In which a mathematical aesthetic is applied to modern minimal art, Mathematical Games, Scientific American, 1978, 239 (5): 22–32, JSTOR 24955839, doi:10.1038/scientificamerican1178-22 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 Szilassi, Lajos, Regular toroids (PDF), Structural Topology, 1986, 13: 69–80 [2021-09-08], （原始内容存档 (PDF)于2009-12-23） 
  5. ^ Császár, Ákos, A polyhedron without diagonals, Acta Sci. Math. Szeged, 1949, 13: 140–142 
  6. ^ 6.0 6.1 Stewart, B.M. Adventures Among The Toroids: A Study Of Quasiconvex, Aplanar, Tunneled Orientable Polyhedra Of Positive Genus Having Regular Faces With Disjoint Interiors,. Stewart. 1980. ISBN 9780686119364. LCCN 80136861. 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 Regular Hexagonal Toroidal Solids: Szilassi Polyhedron (version 1). dmccooey.com. [2021-07-30]. （原始内容存档于2018-05-09）. 
  8. ^ Weisstein, Eric W. (编). Szilassi Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  9. ^ Polyhedra and Polytopes. ics.uci.edu. [2021-09-08]. （原始内容存档于2021-04-06）. 
  10. ^ L. Szilassi. On Three Classes of Regular Toroids (PDF). Symmetry: Culture and Science (Department of Mathematics, Faculty of Mechanical Engineering, Slovak University of Technology in Bratislava). 2000, 11 (1–4): 317–335 [2021-09-08]. （原始内容存档 (PDF)于2016-06-09）. 
  11. ^ Data of Szilassi Polyhedron (version 1). dmccooey.com. [2021-07-30]. （原始内容存档于2021-09-08）. 
  12. ^ Arseneva, Elena and Kleist, Linda and Klemz, Boris and Löffler, Maarten and Schulz, André and Vogtenhuber, Birgit and Wolff, Alexander. Adjacency Graphs of Polyhedral Surfaces. arXiv preprint arXiv:2103.09803. 2021. 
  13. ^ Jungerman, M.; Ringel, Gerhard, Minimal triangulations on orientable surfaces, Acta Mathematica, 1980, 145 (1–2): 121–154, doi:10.1007/BF02414187   
  14. ^ Grünbaum, Branko; Szilassi, Lajos, Geometric realizations of special toroidal complexes, Contributions to Discrete Mathematics, 2009, 4 (1): 21—39, MR 2541986, doi:10.11575/cdm.v4i1.61986   

外部链接