勒贝格控制收敛定理

设${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ 为一个测度空间， ${\displaystyle (f_{n})_{n\geq 0}}$ 是一个实值的可测函数列。如果${\displaystyle (f_{n})}$ 逐点收敛于一个函数${\displaystyle f}$ ，并存在一个勒贝格可积的函数${\displaystyle g\in L^{1}}$ ，使得对每个${\displaystyle n\geq 0}$ ，任意${\displaystyle x\in S}$ ，都有

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq g(x)}$ ，

则：

1. ${\displaystyle f}$ 也是勒贝格可积的，${\displaystyle f\in L^{1}}$ ；
2. ${\displaystyle \int _{S}fd\mu =\int _{S}\lim _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .}$ 

其中的函数${\displaystyle g}$ 一般取为正值函数。函数列${\displaystyle (f_{n})_{n\geq 0}}$ 的逐点收敛和${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq g(x)}$ 的性质可以减弱为${\displaystyle \mu -}$ 几乎处处成立。

勒贝格控制收敛定理是更广泛的法图-勒贝格定理（Fatou–Lebesgue theorem）的特例。以下是一个引用法图引理的证明。

由于 ${\displaystyle f}$  是${\displaystyle (f_{n})}$ 逐点收敛的极限，因此对其仍然有

${\displaystyle \forall x\in S\ |f(x)|\leq g(x)}$ （于是${\displaystyle \scriptstyle f\in L^{1}}$ ）。

同理，对任意的${\displaystyle n}$ 有：

${\displaystyle |f-f_{n}|\leq 2g}$  以及

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|=0.}$ 

根据反向的法图引理，

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\int }_S|f-f_n|d\mu \le {\int }_S\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}|f-f_n|d\mu =0.}${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|\,d\mu =0.}  

因此，由勒贝格积分的线性性和单调性，就有

${\displaystyle {\biggl |}\int _{S}f\,d\mu -\int _{S}f_{n}\,d\mu {\biggr |}={\biggl |}\int _{S}(f-f_{n})\,d\mu {\biggr |}\leq \int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu ,}$ 

而后者趋于0，于是定理得证。

控制收敛定理能够成立的一个重要因素是存在一个可积的函数，使得函数列收敛的过程能够“安全”进行。如果缺少这个条件，调换运算次序就可能会导致各种后果。下面是一个例子：

定义函数${\displaystyle f_{n}}$ 为：对于${\displaystyle (0,{\frac {1}{n}}]}$ 中的${\displaystyle x}$  ，${\displaystyle f_{n}(x)=n}$ 。对于${\displaystyle ({\frac {1}{n}},1]}$ 中的${\displaystyle x}$  ，${\displaystyle f_{n}(x)=0}$  。对${\displaystyle (0,1]}$  中的任意${\displaystyle x}$  ，当${\displaystyle n}$ 趋于无穷大时，${\displaystyle f_{n}(x)}$ 总趋于零，同时${\displaystyle f_{n}}$ 在${\displaystyle (0,1]}$ 上的积分总是1。结果是：

${\displaystyle \int _{0}^{1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,dx=0\neq 1=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\,dx,}$ 

控制收敛定理不成立。原因是不存在可积的控制函数：定义${\displaystyle h=\mathrm {sup} _{n}f_{n}}$ 为：对${\displaystyle (0,1]}$ 中每一点${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle h(x)=\sup _{n\geq 0}f_{n}(x)}$ 。那么在${\displaystyle {\Bigl (}{\frac {1}{n}}+1,{\frac {1}{n}}{\Bigl ]}}$ 上${\displaystyle h(x)=n}$  。于是如果存在控制函数${\displaystyle g}$ ，那么 ${\displaystyle g\geq h}$ ，但是

${\displaystyle \int _{0}^{1}h(x)\,dx\geq \int _{1/m}^{1}h(x)\,dx=\sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}n\,dx=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \quad }$  （当 ${\displaystyle m\to \infty }$  时）

也就是说${\displaystyle g}$ 不可积。

由此可见，可积的控制函数是定理成立的必需条件。

• 勒贝格积分
• 一致可积

• R.G. Bartle, "The Elements of Integration and Lebesgue Measure", Wiley Interscience, 1995.
• H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.
• D. Williams, "Probability with Martingales", Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6