卢津定理

首先，对每个正整数i，构造紧致集${\displaystyle K_{i}}$ 和在其上的连续函数${\displaystyle g_{i}}$ ，使得

${\displaystyle \mu (X\setminus K_{i})<\epsilon /2^{i}}$ 

且在${\displaystyle K_{i}}$ 上有

${\displaystyle \left|f(x)-g_{i}(x)\right|<1/i}$ 

构造方法如下：

将${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 分成两两不交的博雷尔集${\displaystyle (Y_{ij})_{j=1}^{\infty }}$ ，使得每个集的直径都小于1/i。函数f可测，所以每个集的原像${\displaystyle f^{-1}(Y_{ij})}$ 是可测集。令${\displaystyle X_{ij}=X\cap f^{-1}(Y_{ij})}$ ，则${\displaystyle X_{ij}}$ 将X分成两两不交的可测集。

由于${\displaystyle \mu }$ 是博雷尔正则测度，且${\displaystyle \mu (X)<\infty }$ ，于是${\displaystyle \mu }$ 限制到X上是拉东测度。由拉东测度的内正则性，在${\displaystyle X_{ij}}$ 中存在紧致子集${\displaystyle K_{ij}}$ ，使得

${\displaystyle \mu (X_{ij}\setminus K_{ij})<\epsilon /2^{i+j}}$ 

所以全部子集${\displaystyle X_{ij}\setminus K_{ij}}$ 的不交并集的测度

${\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }K_{ij})<\epsilon /2^{i}}$ 

因为${\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }K_{ij})=\lim _{n\to \infty }\mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{n}K_{ij})}$ ，可以取足够大的N使得

${\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{N}K_{ij})<\epsilon /2^{i}}$ 

令${\displaystyle K_{i}=\bigcap _{j=1}^{N}K_{ij}}$ 。有限个紧致集的并集是紧致集，所以${\displaystyle K_{i}}$ 紧致。因此${\displaystyle K_{i}}$ 满足要求。

对j=1,..., N，在${\displaystyle Y_{ij}}$ 中任取一点${\displaystyle y_{ij}}$ ，并在${\displaystyle K_{ij}}$ 上定义${\displaystyle g_{i}(x)=y_{ij}}$ 。

因为在${\displaystyle K_{ij}}$ 上，f的值包含在${\displaystyle Y_{ij}}$ 中，故此f和${\displaystyle g_{i}}$ 相差小于1/i。而${\displaystyle K_{ij}}$ 是两两不交的紧致集，故两两间的距离都是正数，所以${\displaystyle g_{i}}$ 在${\displaystyle K_{i}}$ 上是连续函数。因此${\displaystyle g_{i}}$ 满足要求。

取${\displaystyle K=\bigcap _{i=1}^{\infty }K_{i}}$ ，K是紧致集，并有

${\displaystyle \mu (X\setminus K)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (X\setminus K_{i})<\epsilon }$ 

函数列${\displaystyle g_{i}}$ 在K上一致收敛到f。一致收敛保持函数的连续性，所以f在K上连续。