友谊数

未解决的数学问题：存在无限多个正整数，其因数函数除以自身的比值均相等吗？ Question mark2.svg

在数论中，友谊数是指二个正整数m和n满足σ(m)/m = σ(n)/n的关系，其中σ(n)是因数函数，则称它们是朋友，此二个整数互为友谊数。

例如(1+2+4+5+8+10+16+20+40+80)/80 = (1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+200)/200 = 93/40，因此80和200都是友谊数。

友谊数为传递关系，若m和n为友谊数，n和p为友谊数，则m和p必为友谊数。

所有的已知的友谊数有6, 12, 24, 28, 30, ...（OEIS A074902，按σ(n)/n相同的组对排列：OEIS A050973、OEIS A050973）

确定不是友谊数的数即为孤独数。但有些数尚未能证明它是否为孤独数，例如10。

大的友谊数群

若三个或三个以上的正整数，其因数函数除以自身的比值相等，则这些正整数形成友谊数群（friendly number club）。换言之，友谊数群是友谊数关系的等价类。目前还不知道是否有由无限多个正整数组成的友谊数群。完全数的因数函数为自身的2倍，因此所有完全数形成一个友谊数群，推测应该会有无限多个完全数（至少会和梅森质数的个数一样多），但尚未被证明。

孤独数

未解决的数学问题：10是孤独数吗？  

不与其他数组成友谊数对的正整数称为孤独数（solitary number）。

所有满足( n, σ(n) ) = 1的n（  A014567）都是孤独数，因此所有质数幂都是孤独数。n, σ(n)非互质的孤独数已知有18, 45, 48, ... （  A095739）。10, 14, 15, 20等数未能证明它是否孤独数。