普洛尼克数

在数学中，普洛尼克数（pronic number），也叫矩形数（oblong number），是两个连续非负整数积，即 $n\times (n+1)$ 。第n个普洛尼克数都是n的三角形数的两倍。开头的几个普洛尼克数是：

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550, ...（OEIS数列A002378）

性质

普洛尼克数也可以表达成 $n^{2}+n$ 。
对于第n个普洛尼克数也正好等于头n个偶数的和，也是第n个三角形数的两倍。^[1]
普洛尼克数不可能是奇数，因为它必须为一偶数与奇数之积，而且是三角形数的两倍。^[1]
普洛尼克数的数字根必为2、3、6、9。^{[注 1]}
普洛尼克数的末位数只可能是0、2、6。^{[注 2]}
除了0以外，普洛尼克数也不可能是平方数^{[注 3]}。
除了0以外，普洛尼克数也不可能是次方数。^{[来源请求]}^{[查证请求]}^{[原创研究？]}
除了6以外，普洛尼克数也不可能是完全数。^{[来源请求]}^{[查证请求]}^{[原创研究？]}
一个非负整数是普洛尼克数，当且仅当此数的4倍加1是平方数。^{[注 4]}^{[查证请求]}^{[来源请求]}^{[原创研究？]}
连续两个普洛尼克数的平均是平方数。^{[注 5]}^{[查证请求]}^{[来源请求]}^{[原创研究？]}
显然，2是唯一的一个素普洛尼克数，也是斐波那契数列中唯二的普洛尼克数（另一个是0）^[2]。

特殊的普洛尼克数

同时为普洛尼克数及三角形数的数（不定方程 $x(x+1)={\frac {y(y+1)}{2}}$ ）：最小的几个为0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……^[3]^[4]，对应的 $x$ 值分别为0, 2, 14, 84, 492, 2870,……（OEIS数列A053141），对应的 $y$ 值分别为0, 3, 20, 119, 696, 4059,……（OEIS数列A001652）。

注释

^
若n≡0 (mod 9)，则n×(n+1)≡0×1≡9 (mod 9)
- 若n≡1 (mod 9)，则n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)
- 若n≡2 (mod 9)，则n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)
- 若n≡3 (mod 9)，则n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)
- 若n≡4 (mod 9)，则n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)
- 若n≡5 (mod 9)，则n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)
- 若n≡6 (mod 9)，则n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)
- 若n≡7 (mod 9)，则n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)
- 若n≡8 (mod 9)，则n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)
故得证。
^
若n≡0 (mod 10)，则n×(n+1)≡0×1≡0 (mod 10)
- 若n≡1 (mod 10)，则n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)
- 若n≡2 (mod 10)，则n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)
- 若n≡3 (mod 10)，则n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)
- 若n≡4 (mod 10)，则n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)
- 若n≡5 (mod 10)，则n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)
- 若n≡6 (mod 10)，则n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)
- 若n≡7 (mod 10)，则n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)
- 若n≡8 (mod 10)，则n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)
- 若n≡9 (mod 10)，则n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)
故得证。
^ 因为n与(n+1)差1，所以两数互素，故若n×(n+1)为平方数，则n与(n+1)也皆为平方数，2个平方数差1，则必为0与1，因此唯一的普洛尼克数兼平方数为0=0×1。
^ 普洛尼克数 n(n+1) 的4倍加1是4n²+4n+1 = (2n+1)²
^ 两个相邻的普洛尼克数 n(n+1) 和 (n+1)(n+2) 的平均是 (2n+2)(n+1)/2 = (n+1)²

参考资料

^ ^1.0 ^1.1 Knorr, Wilbur Richard（英语：Wilbur Knorr）, The evolution of the Euclidean elements, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co.: 144–150, 1975 [2021-03-18], ISBN 90-277-0509-7, MR 0472300, （原始内容存档于2016-05-08） .
^ McDaniel, Wayne L., Pronic Fibonacci numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1998, 36 (1): 56–59 [2017-05-26], MR 1605341, （原始内容存档 (PDF)于2020-09-29）
^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A029549 (Triangular numbers that are also pronic numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ pronic numbers. NUMBERS APLENTY. [2021-02-05]. （原始内容存档于2021-02-25）.

[2] 若n≡0 (mod 9)，则n×(n+1)≡0×1≡9 (mod 9)
若n≡1 (mod 9)，则n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)

若n≡2 (mod 9)，则n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)

若n≡3 (mod 9)，则n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)

若n≡4 (mod 9)，则n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)

若n≡5 (mod 9)，则n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)

若n≡6 (mod 9)，则n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)

若n≡7 (mod 9)，则n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)

若n≡8 (mod 9)，则n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)
故得证。

[2] 若n≡1 (mod 9)，则n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)

[3] 若n≡2 (mod 9)，则n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)

[4] 若n≡3 (mod 9)，则n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)

[5] 若n≡4 (mod 9)，则n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)

[6] 若n≡5 (mod 9)，则n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)

[7] 若n≡6 (mod 9)，则n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)

[8] 若n≡7 (mod 9)，则n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)

[9] 若n≡8 (mod 9)，则n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)

[3] 若n≡0 (mod 10)，则n×(n+1)≡0×1≡0 (mod 10)
若n≡1 (mod 10)，则n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)

若n≡2 (mod 10)，则n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)

若n≡3 (mod 10)，则n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)

若n≡4 (mod 10)，则n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)

若n≡5 (mod 10)，则n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)

若n≡6 (mod 10)，则n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)

若n≡7 (mod 10)，则n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)

若n≡8 (mod 10)，则n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)

若n≡9 (mod 10)，则n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)
故得证。

[11] 若n≡1 (mod 10)，则n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)

[12] 若n≡2 (mod 10)，则n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)

[13] 若n≡3 (mod 10)，则n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)

[14] 若n≡4 (mod 10)，则n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)

[15] 若n≡5 (mod 10)，则n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)

[16] 若n≡6 (mod 10)，则n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)

[17] 若n≡7 (mod 10)，则n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)

[18] 若n≡8 (mod 10)，则n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)

[19] 若n≡9 (mod 10)，则n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)

[4] 因为n与(n+1)差1，所以两数互素，故若n×(n+1)为平方数，则n与(n+1)也皆为平方数，2个平方数差1，则必为0与1，因此唯一的普洛尼克数兼平方数为0=0×1。

[5] 普洛尼克数 n(n+1) 的4倍加1是4n²+4n+1 = (2n+1)²

[6] 两个相邻的普洛尼克数 n(n+1) 和 (n+1)(n+2) 的平均是 (2n+2)(n+1)/2 = (n+1)²

[knorr-1] 1.0 ^1.1 Knorr, Wilbur Richard（英语：Wilbur Knorr）, The evolution of the Euclidean elements, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co.: 144–150, 1975 [2021-03-18], ISBN 90-277-0509-7, MR 0472300, （原始内容存档于2016-05-08） .

[7] McDaniel, Wayne L., Pronic Fibonacci numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1998, 36 (1): 56–59 [2017-05-26], MR 1605341, （原始内容存档 (PDF)于2020-09-29）

[8] Sloane, N.J.A. (编). Sequence A029549 (Triangular numbers that are also pronic numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[9] ronic numbers. NUMBERS APLENTY. [2021-02-05]. （原始内容存档于2021-02-25）.

[1]

[注 1]

[注 2]

[注 3]

[注 4]

[注 5]

[2]

[3]

[4]