切比雪夫不等式

这个不等式以数量化这方式来描述，究竟“几乎所有”是多少，“接近”又有多接近：

• 与平均相差2个标准差以上的值，数目不多于1/4
• 与平均相差3个标准差以上的值，数目不多于1/9
• 与平均相差4个标准差以上的值，数目不多于1/16

……

• 与平均相差k个标准差以上的值，数目不多于1/k²

举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分或多于110分（与平均相差3个标准差以上）的人，数目不多于4个（=36*1/9）。
公式：${\displaystyle P(\mu -k\sigma <X<\mu +k\sigma )\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}}$ 

测度论说法

设(X,Σ,μ)为一测度空间，f为定义在X上的广义实值可测函数。对于任意实数t > 0，

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu .}$ 

一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .}$ 

上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：

${\displaystyle g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\mbox{if }}t\geq 0\\0&{\mbox{otherwise,}}\end{cases}}}$ 

概率论说法

设${\displaystyle X}$ 为随机变量，期望值为${\displaystyle \mu }$ ，标准差为${\displaystyle \sigma }$ 。对于任何实数k>0，

${\displaystyle \Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$ 

改进

一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：

${\displaystyle \Pr(X=1)=\Pr(X=-1)=1/(2k^{2})}$ 

${\displaystyle \Pr(X=0)=1-1/k^{2}}$ 

这个分布的标准差${\displaystyle \sigma =1/k}$ ，${\displaystyle \mu =0}$ 。

对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有 ${\displaystyle 1-1/k^{2}}$  的数据落在k个标准差之内。其中k>1，但不一定是整数。

当只求其中一边的值的时候，有Cantelli不等式：

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {\frac {1}{1+k^{2}}}.}$ [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

定义${\displaystyle ~A_{t}:=\{x\in X\mid f(x)\geq t\}}$ ，设${\displaystyle 1_{A_{t}}}$ 为集${\displaystyle ~A_{t}}$ 的指示函数，有

${\displaystyle 0\leq g(t)1_{A_{t}}\leq g\circ f\,1_{A_{t}}\leq g\circ f,}$ 

${\displaystyle g(t)\mu (A_{t})=\int _{X}g(t)1_{A_{t}}\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu .}$ 

又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变量Y和正数a有${\displaystyle \Pr(|Y|>a)\leq \operatorname {E} (|Y|)/a}$ 。取${\displaystyle Y=(X-\mu )^{2}}$ 及${\displaystyle a=(k\sigma )^{2}}$ 。

亦可从概率论的原理和定义开始证明：

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\operatorname {E} (I_{|X-\mu |\geq k\sigma })=\operatorname {E} (I_{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1})}$ 

${\displaystyle \leq \operatorname {E} \left(\left({X-\mu \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}.}$ 

• 马尔可夫不等式
• 弱大数定律
• 大数定律

• 《基本统计学 观念与应用二版》，林惠玲 陈正仓 著
• 《应用统计学 第四版》 修订版，林惠玲 陈正仓 著