马尔可夫不等式

X为一非负随机变量，则

${\displaystyle \mathrm {P} (X\geq a)\leq {\frac {\mathrm {E} (X)}{a}}.}$ ^[1]

若用测度领域的术语来表示，马尔可夫不等式可表示为若(X, Σ, μ)是一个测度空间，ƒ为可测的扩展实数的函数，且${\displaystyle \epsilon \geq 0}$ ，则

${\displaystyle \mu (\{x\in X:|f(x)|\geq \epsilon \})\leq {1 \over \epsilon }\int _{X}|f|\,d\mu .}$ 

有时上述的不等式会被称为切比雪夫不等式^[2]。

对于单调增加函数的扩展版本

若φ是定义在非负实数上的单调增加函数，且其值非负，X是一个随机变量，a ≥ 0，且φ(a) > 0，则

${\displaystyle \mathbb {P} (|X|\geq a)\leq {\frac {\mathbb {E} (\varphi (|X|))}{\varphi (a)}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {E}}(X)&=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx\\&=\int _{0}^{\infty }xf(x)dx\\[6pt]&\geqslant \int _{a}^{\infty }xf(x)dx\\[6pt]&\geqslant \int _{a}^{\infty }af(x)dx\\[6pt]&=a\int _{a}^{\infty }f(x)dx\\[6pt]&=a{\textrm {P}}(X\geqslant a).\end{aligned}}}$ 

切比雪夫不等式使用方差来作为一随机变量超过平均值概率的上限，可以用下式表示：

${\displaystyle \Pr(|X-{\textrm {E}}(X)|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {Var}}(X)}{a^{2}}},}$ 

对任意a>0，Var(X)为X的方差，定义如下：

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} (X))^{2}].}$ 

若以马尔可夫不等式为基础，切比雪夫不等式可视为考虑以下随机变量

${\displaystyle (X-\operatorname {E} (X))^{2}}$ 

根据马尔可夫不等式，可得到以下的结果

${\displaystyle \Pr((X-\operatorname {E} (X))^{2}\geq a^{2})\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}},}$ 

令${\displaystyle M\succeq 0}$ 为自共轭矩阵形式的随机变量，且${\displaystyle a>0}$ ，则

${\displaystyle \Pr(M\npreceq a\cdot I)\leq {\frac {\mathrm {tr} \left(E(M)\right)}{a}}.}$ 

• 马尔可夫不等式可用来证明切比雪夫不等式。
• 马尔可夫不等式可用来证明一个非负的随机变量，其平均值${\displaystyle \mu }$ 和中位数${\displaystyle m}$ 满足${\displaystyle m\leq 2\mu }$ 的关系。

• 切比雪夫不等式