集合 (数学)

定义

简单来说，所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。 一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作“元素”或“成员”。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。

在数学交流当中为了方便，集合会有一些别名。比如：

• 族、系　通常指它的元素也是一些集合。

符号

元素通常用${\displaystyle a,\ b,\ c,\ d,\ x}$ 等小写字母来表示；而集合通常用${\displaystyle \mathbf {A,\ B,\ C,\ D,\ X} }$ 等大写字母来表示。

当元素${\displaystyle a}$ 属于集合${\displaystyle \mathbf {A} }$ 时，记作${\displaystyle a\in \mathbf {A} }$ 。

当元素${\displaystyle a}$ 不属于集合${\displaystyle \mathbf {A} }$ 时，记作${\displaystyle a\not \in \mathbf {A} }$ 。

如果${\displaystyle \mathbf {A,\ B} }$ 两个集合所包含的元素完全一样，则二者相等，写作${\displaystyle \mathbf {A=B} }$ 

集合的特性

无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。

• 集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。（参见序理论）

互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。

• 有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。

确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

• 集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如：

${\displaystyle A=}$ 大于零的前三个自然数

${\displaystyle B=}$ 光的三原色和白色

• 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如：

${\displaystyle C=\left\{1,2,3\right\}}$ 

${\displaystyle D=\{}$ 红色${\displaystyle ,}$ 蓝色${\displaystyle ,}$ 绿色${\displaystyle ,}$ 白色${\displaystyle \}}$ 

尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中，${\displaystyle A=C}$ 而${\displaystyle B=D}$ ，因为它们正好有相同的元素。

元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都和集合相同与否没有关系。比如：这三个集合${\displaystyle \left\{2,4\right\}}$ ，${\displaystyle \left\{4,2\right\}}$ 和${\displaystyle \left\{2,2,4,2\right\}}$ 是相同的，因为它们有相同的元素。

• 集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示，更多信息，请见文氏图。

子集与包含关系

定义

集合${\displaystyle A}$ 、${\displaystyle B}$ ，若${\displaystyle \forall a\in A}$ ，有${\displaystyle a\in B\therefore A\subseteq B}$ 。则称${\displaystyle A}$ 是${\displaystyle B}$ 的子集，亦称${\displaystyle A}$ 包含于${\displaystyle B}$ ，或${\displaystyle B}$ 包含${\displaystyle A}$ ，记作${\displaystyle A\subseteq B}$ 或${\displaystyle B\supseteq A}$ ，否则称${\displaystyle A}$ 不是${\displaystyle B}$ 的子集，记作${\displaystyle A\nsubseteq B}$ 或${\displaystyle B\nsupseteq A}$ 。

若${\displaystyle A\subseteq B}$ ，且${\displaystyle A\neq B}$ ，则称${\displaystyle A}$ 是${\displaystyle B}$ 的真子集，亦称${\displaystyle A}$ 真包含于${\displaystyle B}$ ，或${\displaystyle B}$ 真包含${\displaystyle A}$ ，记作${\displaystyle A\subsetneqq B}$ 或${\displaystyle B\supsetneqq A}$ （有时也记作${\displaystyle A\subset B}$ 或${\displaystyle B\supset A}$ ）。

基本性质

• 包含关系“${\displaystyle \subseteq }$ ”是集合间的一个非严格偏序关系，因为它有如下性质：
  • 自反性：${\displaystyle \forall }$ 集合${\displaystyle S}$ ，${\displaystyle S\subseteq S}$ ；（任何集合都是其本身的子集）
  • 反对称性：${\displaystyle A\subseteq B}$ 且${\displaystyle B\subseteq A\Leftrightarrow A=B}$ ；（这是证明两集合相等的常用手段之一）
  • 传递性：${\displaystyle A\subseteq B}$ 且${\displaystyle B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C}$ ；
• 真包含关系“${\displaystyle \subsetneqq }$ ”是集合间的一个严格偏序关系，因为它有如下性质：
  • 反自反性：${\displaystyle \forall }$ 集合${\displaystyle S}$ ，${\displaystyle S\subsetneqq S}$ 都不成立；
  • 非对称性：${\displaystyle A\subsetneqq B\Rightarrow B\subsetneqq A}$ 不成立；反之亦然；
  • 传递性：${\displaystyle A\subsetneqq B}$ 且${\displaystyle B\subsetneqq C\Rightarrow A\subsetneqq C}$ ；
• 显然，包含关系，真包含关系定义了集合间的偏序关系。而${\displaystyle \varnothing }$ 是这个偏序关系的最小元素，即：${\displaystyle \forall }$ 集合${\displaystyle S}$ ，${\displaystyle \varnothing \subseteq S}$ ；且若${\displaystyle S\neq \varnothing }$ ，则${\displaystyle \varnothing \subsetneqq S}$ ，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）

举例

• 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
• 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。
• ${\displaystyle \left\{1,3\right\}\subsetneqq \left\{1,2,3,4\right\}}$ 
• ${\displaystyle \left\{1,2,3,4\right\}\subseteq \left\{1,2,3,4\right\}}$ 

并

两个集合可以相"加"。${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 的并集是将${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 的元素放到一起构成的新集合。

定义

给定集合${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle B}$ ，定义运算${\displaystyle \cup }$ 如下：${\displaystyle A\cup B=\{e|e\in A}$ 或${\displaystyle e\in B\}}$ 。${\displaystyle A\cup B}$ 称为${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 的并集。

示例

• ${\displaystyle \{1,2\}\cup \{}$ 红色${\displaystyle ,}$ 白色${\displaystyle \}=\{1,2,}$ 红色${\displaystyle ,}$ 白色${\displaystyle \}}$ 
• ${\displaystyle \{1,2,}$ 绿色${\displaystyle \}\cup \{}$ 红色${\displaystyle ,}$ 白色${\displaystyle ,}$ 绿色${\displaystyle \}=\{1,2,}$ 红色${\displaystyle ,}$ 白色${\displaystyle ,}$ 绿色${\displaystyle \}}$ 
• ${\displaystyle \left\{1,2\right\}\cup \left\{1,2\right\}=\left\{1,2\right\}}$ 

基本性质

作为集合间的二元运算，${\displaystyle \cup }$ 运算具有以下性质。

• 交换律：${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$ ；
• 结合律：${\displaystyle \left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)}$ ；
• 幂等律：${\displaystyle A\cup A=A}$ ；
• 幺元：${\displaystyle \forall }$ 集合${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$ ；（${\displaystyle \varnothing }$ 是${\displaystyle \cup }$ 运算的幺元）。

交

一个新的集合也可以通过两个集合均有的元素来构造。${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 的交集，写作${\displaystyle A\cap B}$ ，是既属于${\displaystyle A}$ 的、又属于${\displaystyle B}$ 的所有元素组成的集合。

若${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ ，则${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 称作不相交。

定义

给定集合${\displaystyle A}$ 、${\displaystyle B}$ ，定义运算${\displaystyle \cap }$ 如下：${\displaystyle A\cap B=\{e|e\in A}$ 且${\displaystyle e\in B\}}$ 。${\displaystyle A\cap B}$ 称为${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 的交集。

基本性质

作为集合间的二元运算，${\displaystyle \cap }$ 运算具有以下性质。

• 交换律：${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$ ；
• 结合律：${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$ ；
• 幂等律：${\displaystyle A\cap A=A}$ ；
• 空集合：${\displaystyle \forall }$ 集合${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$ ；（${\displaystyle \varnothing }$ 是${\displaystyle \cap }$ 运算的空集合）。

其它性质还有：

• ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A}$ 

示例

• ${\displaystyle \{1,2\}\cap \{}$ 红色${\displaystyle ,}$ 白色${\displaystyle \}=\varnothing }$ 
• ${\displaystyle \{1,2,}$ 绿色${\displaystyle \}\cap \{}$ 红色${\displaystyle ,}$ 白色${\displaystyle ,}$ 绿色${\displaystyle \}=\{}$ 绿色${\displaystyle \}}$ 
• ${\displaystyle \{1,2\}\cap \{1,2\}=\{1,2\}}$ 

补集

两个集合也可以相"减"。${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle B}$ 中的相对补集，国际上通常写作 ${\displaystyle B\setminus A}$ ，中文教材中有时也会写作${\displaystyle B-A}$ 。表示属于${\displaystyle B}$ 的、但不属于${\displaystyle A}$ 的所有元素组成的集合。

在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集${\displaystyle U}$ 的子集。这样， ${\displaystyle U-A}$ 称作${\displaystyle A}$ 的绝对补集，或简称补集（余集），写作${\displaystyle A'}$ 或${\displaystyle \complement _{U}A}$ 。

补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

定义

给定集合${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle B}$ ，定义运算-如下：${\displaystyle A-B=\{e|e\in A}$ 且${\displaystyle e\not \in B\}}$ 。${\displaystyle A-B}$ 称为${\displaystyle B}$ 对于${\displaystyle A}$ 的差集，相对补集或相对余集。

在上下文确定了全集${\displaystyle U}$ 时，对于${\displaystyle U}$ 的某个子集${\displaystyle A}$ ，一般称${\displaystyle U-A}$ 为${\displaystyle A}$ （对于${\displaystyle U}$ ）的补集或余集，通常记为${\displaystyle A'}$ 或${\displaystyle {\bar {A}}}$ ，也有记为${\displaystyle A^{\text{c}}}$ , ${\displaystyle A'}$ , ${\displaystyle \complement _{U}A}$ ，以及${\displaystyle \complement A}$ 的。

基本性质

作为集合间的二元运算，- 运算有如下基本性质：

• ${\displaystyle A-A=\varnothing }$ ；
• 右幺元：${\displaystyle \forall }$ 集合${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle A-\varnothing =A}$ ；（${\displaystyle \varnothing }$ 是${\displaystyle -}$ 运算的右幺元）。
• 左零元（英语：Zero element）：${\displaystyle \forall }$ 集合${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle \varnothing -A=\varnothing }$ ；（${\displaystyle \varnothing }$ 是${\displaystyle -}$ 运算的左零元）。

示例

• ${\displaystyle \{1,2\}-\{}$ 红色${\displaystyle ,}$ 白色${\displaystyle \}=\{1,2\}}$ 
• ${\displaystyle \{1,2,}$ 绿色${\displaystyle \}-\{}$ 红色${\displaystyle ,}$ 白色${\displaystyle ,}$ 绿色${\displaystyle \}=\{1,2\}}$ 
• ${\displaystyle \{1,2\}-\{1,2\}=\varnothing }$ 
• 若${\displaystyle U}$ 是整数集，则奇数的补集是偶数

对称差

定义

给定集合${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle B}$ ，定义对称差运算${\displaystyle \vartriangle }$ 如下：${\displaystyle A\vartriangle B=(A-B)\cup (B-A)}$ 。

基本性质

作为集合间的二元运算，${\displaystyle \vartriangle }$ 运算具有如下基本性质：

• 交换律：${\displaystyle A\vartriangle B=B\vartriangle A}$ ；
• 结合律：${\displaystyle (A\vartriangle B)\vartriangle C=A\vartriangle (B\vartriangle C)}$ ；
• 幺元：${\displaystyle \forall }$ 集合${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle A\vartriangle \varnothing =A}$ ；（${\displaystyle \varnothing }$ 是${\displaystyle \vartriangle }$ 运算的幺元）。
• 逆元：${\displaystyle A\vartriangle A=\varnothing }$ ；

集合的运算除了以上情况之外，集合间还具有以下运算性质：

• 分配律:

${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$ 

${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$ 

• 对偶律:

${\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}}$ 

${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ 

上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 A 有三个元素、而集合 B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。数学写法有很多种，不同作者及不同书本用不同的写法: ${\displaystyle \operatorname {Card} (A),\ \#A,\ |A|,\ {\bar {A}},\ {\bar {\bar {A}}}}$ 。

集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用 ${\displaystyle \{\}}$  或符号${\displaystyle \varnothing }$ 表示。比如：集合${\displaystyle A}$ 是2004年所有住在月球上的人，它没有元素，则${\displaystyle A=\varnothing }$ 。在数学上，空集非常重要。更多资讯请参阅空集。

如果集合只含有限个元素，那么这个集合可以称为有限集合。

集合也可以有无穷多个元素，这样的集合称为无限集合。比如：自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他资讯请见集合的势。

若把集合看作“符合任意特定性质的一堆东西”，会得出所谓罗素悖论。为解决罗素悖论，数学家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。

在更深层的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。

类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，我们把这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算并不是都能进行的。

定义 类A如果满足条件“${\displaystyle \exists B(A\in B)}$ ”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为${\displaystyle \operatorname {Set} (A)}$ 。否则称为本性类。

这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。

• 公理化数学
• 类的理论
• 罗素公理体系
• 集合代数