迹不等式

数学中,有很多关于希尔伯特空间上的矩阵线性算子不等式。而迹不等式就是与矩阵的迹有关的算子不等式。[1][2][3][4]

基本定义

Hn表示n×n埃尔米特矩阵空间, Hn+表示全体n×n半正定埃尔米特矩阵Hn++表示全体n×n正定埃尔米特矩阵。对于无限维希尔伯特空间上的算子,则需要迹类算子埃尔米特算子,简单起见,此处我们只讨论矩阵

对于任意实值函数 f 上的一个区间 I ⊂ℝ,通过在特征值上定义函数和相应投影P乘积,可以在任意特征值 λI的算子AHn上定义 矩阵函数 f(A) 如下:

  假设有谱分解  

算子的单调性

定义在区间 I ⊂ℝ上的函数 f: I → ℝ算子单调的 ,如果对于∀n,∀ A,BHn 且特征值在 I中,有,

 

这里 A ≥ B 表示 AB ≥ 0 ,即AB是半正定的。 注意, f(A)=A2 不是 算子单调的!

算子的凹凸性

函数  算子凸的 如果对任意   和任意 A,BHn 与特征值在 I的一对矩阵,在  时有

 

由于    有的特征值在 I中,注意矩阵   特征值也在  中。

函数   是 算子凹的 如果   是算子凸的,即上面关于   不等式的符号反过来也成立。

联合凸性

定义在区间   上的函数  联合凸的 ,如果对任意   和任意  且特征值在   中,和任意   且特征值在  中,在   时有

 

一个功能 是 如果 是联合凸,即不平等以上为 g 是相反的。

函数 g 是 算子联合凹的 如果 −g 是联合凸的,即上面关于 g 不等式符号反过来成立。

迹函数

给定函数 f:ℝ→ℝ,相应地可在 Hn 上定义 迹函数

 

其中 A 有特征值 λ ,Tr表示算子的

迹函数的凸性和单调性

f:ℝ→ℝ连续, n 是任意整数。 若   是单调递增的,则迹函数  Hn上也是单调递增的。

类似,如果  的,则迹函数 Hn上也是凸的,它是严格凸的如果 f 严格凸。

证明和讨论可参考[1] 中。

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 E. Carlen, Trace Inequalities and Quantum Entropy: An Introductory Course, Contemp. Math. 529 (2010) 73–140 doi:10.1090/conm/529/10428
  2. ^ R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer, (1997).
  3. ^ B. Simon, Trace Ideals and their Applications, Cambridge Univ. Press, (1979); Second edition. Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2005).
  4. ^ M. Ohya, D. Petz, Quantum Entropy and Its Use, Springer, (1993).