矩阵函数此条目已列出参考文献，但因为没有文内引注而使来源仍然不明。 (2019年3月8日)请加上合适的文内引注来改善这篇条目。数学上讲，矩阵函数是把矩阵映射到另一个矩阵的函数。 目录 1 将标量函数拓展为矩阵函数 1.1 指数级数 1.2 可对角化矩阵 2 相关条目 3 参考资料 将标量函数拓展为矩阵函数 指数级数 如果实值函数 f具有泰勒展开 f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ⋅ x + f ″ ( 0 ) ⋅ x 2 2 ! + ⋯ {\displaystyle f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+f''(0)\cdot {\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots } 那么矩阵函数可以通过用矩阵替换自变量 x {\displaystyle x} 得到：指数运算变成矩阵指数，加法变成矩阵和，与标量系数的乘法变成矩阵和标量的乘法。如果实级数在 | x | < r {\displaystyle |x|<r} 时收敛，那么其对应的关于 A {\displaystyle A} 的矩阵级数也将收敛，如果在某个满足 ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ⋅ ‖ B ‖ {\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|} 的矩阵范数 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 上满足 ‖ A ‖ < r {\displaystyle \|A\|<r} 。 可对角化矩阵 如果矩阵 A {\displaystyle A} 是可对角化矩阵，则结果可以简化为一个由各个特征值的函数值构成的矩阵。换句话说，假设我们可以找到矩阵 P {\displaystyle P} 和对角阵 D {\displaystyle D} ，使得 A = P ⋅ D ⋅ P − 1 {\displaystyle A=P\cdot D\cdot P^{-1}} ，那么 把指数级数的定义用到这个分解上，我们可以得到 f ( A ) = P [ f ( d 1 ) … 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 … f ( d n ) ] P − 1 , {\displaystyle f(A)=P{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\dots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &f(d_{n})\end{bmatrix}}P^{-1}~,} 其中 d 1 , … , d n {\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n}} 表示 D {\displaystyle D} 的对角元素。 相关条目 西尔维斯特公式（英语：Sylvester's formula） 矩阵微积分 迹不等式 矩阵三角函数（英语：Trigonometric functions of matrices）参考资料 Higham, Nicholas J. Functions of matrices theory and computation. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. 2008. ISBN 9780898717778.