戴尔指数

戴尔指数(英语:Theil Index)又称为泰尔指数[1],是一个衡量经济不平等[2]的统计量。它也曾经用来衡量其他社会不平等现象,如种族隔离[3][4][5]

戴尔指数主要是利用信息论中的资讯熵的概念导出的。戴尔指数等于资讯冗余,也就是资料最大可能资讯熵减去观测到的资讯熵,它是广义熵指数英语generalized entropy index的特例,可以被视为冗余度、单样性、不平等、非随机性和可压缩性的度量。[5]

戴尔指数最早由荷兰鹿特丹伊拉斯姆斯大学计量经济学亨利·戴尔英语Henri TheilHenri Theil)所提出。[5]

数学公式

假设一个人口为N的群体,其收入分别为xi (i = 1,...,N),则它的戴尔指数T定义为[6]

 

而戴尔指数L则定义为

 

其中 为第 个人的收入, 为平均收入, 为人口数量。加总符号中的第一项可以理解为个人在总收入中所占的比例,第二项为该个人相对于均值的收入。

如果收入分布是个离散分布函数 fk (k = 0,...,W),其中fk是收入为k的人口比例,而W = 代表总收入,可以得知   。 它的戴尔指数T定义为:

 

这里的 一样是收入平均

 

其中应注意到收入k是一个整数,k=1代表最小收入增量(比如新台币1元)。

如果收入分布是个连续分布函数f(k),k取值0到无穷,其中f(kdk 是收入为kk + dk的人口数量,那戴尔指数T定义为:

 

其中平均 为:

 

一些常见连续概率分布的戴尔指数如下表所示:

收入分布函数 PDF(x) (x ≥ 0) 戴尔指数(纳特
狄拉克δ函数   0
连续型均匀分布    
指数分布      
对数正态分布    
帕累托分布        (α>1)
卡方分布       
伽玛分布     
韦伯分布       

如果每一个人都有相同的收入,即等于均值,则指数为零。如果某个个人拥有所有的收入,则指数为 TT 除以  可以将方程归一化到0到1的范围,但这样违反独立公理英语Economic inequality metrics:  并不符合衡量不平等的标准。

信息论推导

戴尔指数导自克劳德·夏农信息熵,他的一般数学形式为:

 

其中  是从人群里找到 的几率。 玻尔兹曼常数。在信息论中,当信息以二进制数字给出时, 并且对数基底为2。在物理学和戴尔指数的计算中,选择自然对数作为对数基底。当 替换成人均收入 时,需要除以总收入达到归一化 。那可以导出,观察到的信息熵为:

 

 为戴尔指数, 夏农熵,则有

 

其中,ln(N)是理论最大熵。香浓根据事件发生概率导出的其熵测度。它可以用戴尔系数解释为自某个特定个人处随机取得一块钱的概率。并与其第一项,即总收入中个人所占份额相同。

符号 信息论 戴尔指数 TT
  字符数 人口数
  某个特定字符 某个特定人
  第i个字符 character 第i个人的收入
  总字符数 总收入
  未被使用的资讯空间 未使用潜在价格机制

可分解性

戴尔指数的一个优点是它是某个子群体中不平等的加权和[1]。例如,美国国内的不平等就是每个州的不平等的加权和,由该州收入相对于国家总收入的比值来加权。

如果人口被划分为 个子群体,  为群体  的收入比例, 为该子群体的戴尔指数,而   为子群体  的平均收入,则戴尔指数为

 

因此,我们可以说某个特定群体给总体“贡献了”一定数量的不平等。

另外一个被广泛使用的不平等度量为基尼系数,该系数对于很多人来说由于基于劳伦茨曲线而非常直观。但是它却没有戴尔指数容易分解。

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 徐淑娟. 中国经济发展中的行业收入差距问题研究. 西南财经大学出版社. 2018-02-01: 33–34 [2019-01-14]. ISBN 7550428530. (原始内容存档于2019-06-05) (中文(中国大陆)). 
  2. ^ Introduction to the Theil index from the University of Texas (PDF). [2006-01-15]. (原始内容存档 (PDF)于2005-11-18). 
  3. ^ Diversity and Social Segregation. geodacenter.asu.edu. [2016-03-18]. (原始内容存档于2012-07-10). 
  4. ^ Segregation Measures. www.urban.org. Urban Institute. [5 February 2018]. (原始内容存档于2021-01-19) (英语). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Parker, Lauren. Racial and Ethnic Segregation: In the News and On PolicyMap. PolicyMap. 20 July 2015 [5 February 2018]. (原始内容存档于2019-06-08). 
  6. ^ Redundancy, Entropy and Inequality Measures. [2019-01-11]. (原始内容存档于2020-10-23) (英语). 

外部链接