戴尔指数

假设一个人口为N的群体，其收入分别为x_i (i = 1,...,N)，则它的戴尔指数T定义为^[6]：

${\displaystyle T_{T}=T_{\alpha =1}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{\mu }}\ln \left({\frac {x_{i}}{\mu }}\right)}$ 

而戴尔指数L则定义为

${\displaystyle T_{L}=T_{\alpha =0}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln \left({\frac {\mu }{x_{i}}}\right)}$ 

其中${\displaystyle x_{i}}$ 为第${\displaystyle i}$ 个人的收入，${\displaystyle {\mu }}$ 为平均收入，${\displaystyle N}$ 为人口数量。加总符号中的第一项可以理解为个人在总收入中所占的比例，第二项为该个人相对于均值的收入。

如果收入分布是个离散分布函数 f_k (k = 0,...,W)，其中f_k是收入为k的人口比例，而W = Nμ 代表总收入，可以得知 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{W}f_{k}=1}$  。 它的戴尔指数T定义为：

${\displaystyle T_{T}=\sum _{k=0}^{W}\,f_{k}\,{\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)}$ 

这里的${\displaystyle \mu }$ 一样是收入平均

${\displaystyle \mu =\sum _{k=0}^{W}kf_{k}}$ 

其中应注意到收入k是一个整数，k=1代表最小收入增量（比如新台币1元）。

如果收入分布是个连续分布函数f(k)，k取值0到无穷，其中f(k) dk 是收入为k 到 k + dk的人口数量，那戴尔指数T定义为：

${\displaystyle T_{T}=\int _{0}^{\infty }f(k){\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)dk}$ 

其中平均${\displaystyle \mu }$ 为：

${\displaystyle \mu =\int _{0}^{\infty }kf(k)\,dk}$ 

一些常见连续概率分布的戴尔指数如下表所示：

收入分布函数	PDF(x) (x ≥ 0)	戴尔指数（纳特）
狄拉克δ函数	${\displaystyle \delta (x-x_{0}),\,x_{0}>0}$	0
连续型均匀分布	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&a\leq x\leq b\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle \ln \left({\frac {2a}{(a+b){\sqrt {e}}}}\right)+{\frac {b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}\ln(b/a)}$
指数分布	${\displaystyle \lambda e^{-x\lambda },\,\,x>0}$	${\displaystyle 1-}$  ${\displaystyle \gamma }$
对数正态分布	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{(-(\ln(x)-\mu )^{2})/\sigma ^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2}}}$
帕累托分布	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\alpha k^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq k\\0&x<k\end{cases}}}$	${\displaystyle \ln(1\!-\!1/\alpha )+{\frac {1}{\alpha -1}}}$     (α>1)
卡方分布	${\displaystyle {\frac {2^{-k/2}e^{-x/2}x^{k/2-1}}{\Gamma (k/2)}}}$	${\displaystyle \ln(2/k)+}$  ${\displaystyle \psi ^{(0)}}$ ${\displaystyle (1\!+\!k/2)}$
伽玛分布	${\displaystyle {\frac {e^{-x/\theta }x^{k-1}\theta ^{-k}}{\Gamma (k)}}}$	${\displaystyle \psi ^{(0)}}$ ${\displaystyle (1+k)-\ln(k)}$
韦伯分布	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$  ${\displaystyle \psi ^{(0)}}$ ${\displaystyle (1+1/k)-\ln \left(\Gamma (1+1/k)\right)}$

如果每一个人都有相同的收入，即等于均值，则指数为零。如果某个个人拥有所有的收入，则指数为${\displaystyle \ln {N}}$ 。T_T 除以${\displaystyle \ln N}$  可以将方程归一化到0到1的范围，但这样违反独立公理（英语：Economic inequality metrics）: ${\displaystyle T[x\cup x]\neq T[x]}$ 并不符合衡量不平等的标准。

戴尔指数导自克劳德·夏农的信息熵，他的一般数学形式为：

${\displaystyle S=k\sum _{i=1}^{N}\left(p_{i}\log {\frac {1}{p_{i}}}\right)=-k\sum _{i=1}^{N}\left(p_{i}\log {p_{i}}\right)}$ 

其中 ${\displaystyle p_{i}}$ 是从人群里找到${\displaystyle i}$ 的几率。${\displaystyle k}$ 是玻尔兹曼常数。在信息论中，当信息以二进制数字给出时，${\displaystyle k=1}$ 并且对数基底为2。在物理学和戴尔指数的计算中，选择自然对数作为对数基底。当${\displaystyle p_{i}}$ 替换成人均收入${\displaystyle x_{i}}$ 时，需要除以总收入达到归一化${\displaystyle N{\overline {x}}}$ 。那可以导出，观察到的信息熵为：

${\displaystyle S_{\text{Theil}}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}}{N{\overline {x}}}}\ln {\frac {N{\overline {x}}}{x_{i}}}\right)}$ 

设${\displaystyle T}$ 为戴尔指数，${\displaystyle S}$ 为夏农熵，则有

${\displaystyle T=\ln(N)-S}$ 

其中，ln(N)是理论最大熵。香浓根据事件发生概率导出的其熵测度。它可以用戴尔系数解释为自某个特定个人处随机取得一块钱的概率。并与其第一项，即总收入中个人所占份额相同。

戴尔指数的一个优点是它是某个子群体中不平等的加权和^[1]。例如，美国国内的不平等就是每个州的不平等的加权和，由该州收入相对于国家总收入的比值来加权。

如果人口被划分为${\displaystyle m}$ 个子群体，${\displaystyle s_{k}}$  为群体${\displaystyle k}$  的收入比例，${\displaystyle T_{k}}$ 为该子群体的戴尔指数，而 ${\displaystyle {\overline {x}}_{k}}$  为子群体 ${\displaystyle k}$ 的平均收入，则戴尔指数为

${\displaystyle T=\sum _{k=1}^{m}s_{k}T_{T_{k}}+\sum _{k=1}^{m}s_{k}\ln {\frac {{\overline {x}}_{k}}{\overline {x}}}}$ 

因此，我们可以说某个特定群体给总体“贡献了”一定数量的不平等。

另外一个被广泛使用的不平等度量为基尼系数，该系数对于很多人来说由于基于劳伦茨曲线而非常直观。但是它却没有戴尔指数容易分解。

• 德克萨斯大学戴尔指数简介 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）
• 试算表: Income inequality metrics#Spreadsheet computations（英语：Income inequality metrics#Spreadsheet computations）
• 免费在线计算器 计算基尼系数，绘制洛伦兹曲线，并为任何数据集计算许多其他浓度测量值
• Free Calculator: Online （页面存档备份，存于互联网档案馆） and downloadable scripts (Python and Lua) for Atkinson, Gini, and Hoover inequalities
• Users of the R （页面存档备份，存于互联网档案馆） data analysis software can install the "ineq" package which allows for computation of a variety of inequality indices including Gini, Atkinson, Theil.
• MATLAB 不平等包 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。MATLAB不平等包，其中包括用于计算基尼，阿特金森，泰尔指数和标绘洛伦茨曲线的代码