指数分布

指数分布即形状参数α为1的伽玛分布。

若随机变量${\displaystyle X}$ 服从参数为${\displaystyle \lambda }$ 或${\displaystyle \beta }$ 的指数分布，则记作

${\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(\lambda )}$  或 ${\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(\beta )}$ 

两者意义相同，只是${\displaystyle \lambda }$ 与${\displaystyle \beta }$ 互为倒数关系。只要将以下式子做${\displaystyle {\color {Red}\lambda ={\frac {1}{\beta }}}}$ 的替换即可，即，指数分布之概率密度函数为：

${\displaystyle f(x;{\color {Red}\lambda })=\left\{{\begin{matrix}{\color {Red}\lambda }e^{-{\color {Red}\lambda }x}&x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$ 

或

${\displaystyle f(x;{\color {Red}\beta })=\left\{{\begin{matrix}{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}e^{-{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}x}&x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$ 

累积分布函数为：

${\displaystyle F(x;{\color {Red}\lambda })=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\color {Red}{\lambda }x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$ 

或

${\displaystyle F(x;{\color {Red}\beta })=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$ 

其中λ > 0是分布的参数，即每单位时间发生该事件的次数； β 为尺度参数，即该事件在每单位时间内的发生率。两者常被称为率参数（rate parameter）。指数分布的区间是[0,∞)。

期望值与方差

随机变量X (X 的参数为λ或β) 的期望值是：

${\displaystyle \mathbf {E} (X)={\frac {1}{\color {Red}{\lambda }}}={\color {Red}\beta }}$ 

例如：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。

X 的方差是：

${\displaystyle \mathbf {Var} (X)={\frac {1}{\color {Red}{\lambda ^{2}}}}={\color {Red}\beta ^{2}}}$ 

X 的偏态系数是： V[X] = 1

无记忆性

指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，它的条件概率遵循：

${\displaystyle P(T>s+t\;|\;T>t)=P(T>s)\;\;{\hbox{for all}}\ s,t\geq 0.}$ 

与泊松过程的关系

泊松过程是一种重要的随机过程。泊松过程中，第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔服从指数分布。而根据泊松过程的定义，长度为t的时间段内没有随机事件出现的概率等于

${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{0}}{0!}}=e^{-\lambda t}}$ ,

长度为t的时间段内随机事件发生一次的概率等于 ${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{1}}{1!}}=e^{-\lambda t}\lambda t}$ , 所以第k次随机事件之后长度为t的时间段内，第k+n次 (n=1, 2, 3,...)随机事件出现的概率等于${\displaystyle 1-e^{-\lambda t}}$ 。这是指数分布。这还表明了泊松过程的无记忆性。

四分位数

率参数λ的四分位数函数（Quartile function）是：

${\displaystyle F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\qquad 0\leq p<1}$ 

• 第一四分位数：${\displaystyle \ln(4/3)/\lambda \,}$ 
• 中位数：${\displaystyle \ln(2)/\lambda \,}$ 
• 第三四分位数：${\displaystyle \ln(4)/\lambda \,}$ 

因此，四分位距为ln(3)/λ。

最大似然法

给定独立同分布样本x = (x₁, ..., x_n)，λ的似然函数（Likelihood function）是：

${\displaystyle L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda \,\exp(-\lambda x_{i})=\lambda ^{n}\,\exp \!\left(\!-\lambda \sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right)}$ 

其中：

${\displaystyle {\overline {x}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ 是样本期望値。

似然函数对数的导数是：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ln L(\lambda )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\left(n\ln(\lambda )-\lambda n{\overline {x}}\right)={n \over \lambda }-n{\overline {x}}\ \left\{{\begin{matrix}>0&{\mbox{if}}\ 0<\lambda <1/{\overline {x}},\\\\=0&{\mbox{if}}\ \lambda =1/{\overline {x}},\\\\<0&{\mbox{if}}\ \lambda >1/{\overline {x}}.\end{matrix}}\right.}$ 

参数λ的最大似然估计（Maximum likelihood）值是：

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}={\frac {1}{\overline {x}}}}$ 

• 拉普拉斯分布（又称：双指数分布）
• 几何分布

1. Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison-Wesley. 编辑
   • 指数分布 （页面存档备份，存于互联网档案馆）