连续型均匀分布此条目没有列出任何参考或来源。 (2015年7月2日)维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助补充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。此条目需要扩充。 (2008年4月2日)请协助改善这篇条目，更进一步的信息可能会在讨论页或扩充请求中找到。请在扩充条目后将此模板移除。 连续型均匀分布（英语：continuous uniform distribution）或矩形分布（rectangular distribution）的随机变量 X {\displaystyle {\mathit {X}}} ，在其值域之内的每个等长区间上取值的概率皆相等。其概率密度函数在该变量的值域内为常数。若 X {\displaystyle X} 服从 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的均匀分布，则记作 X ∼ U [ a , b ] {\displaystyle X\sim U[a,b]} 。 连续型均匀分布 概率密度函数 累积分布函数参数 a , b ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle a,b\in (-\infty ,\infty )\,\!} 值域 a ≤ x ≤ b {\displaystyle a\leq x\leq b\,\!} 概率密度函数 1 b − a for a ≤ x ≤ b 0 f o r x < a o r x > b {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&{\mbox{for }}a\leq x\leq b\\\\0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{matrix}}\,\!} 累积分布函数 0 for x < a x − a b − a for a ≤ x < b 1 for x ≥ b {\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&~~~~~{\mbox{for }}a\leq x<b\\1&{\mbox{for }}x\geq b\end{matrix}}\,\!} 期望值 a + b 2 {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,\!} 中位数 a + b 2 {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,\!} 众数 任何 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]\,\!} 内的值方差 ( b − a ) 2 12 {\displaystyle {\frac {(b-a)^{2}}{12}}\,\!} 偏度 0 {\displaystyle 0\,\!} 峰度 − 6 5 {\displaystyle -{\frac {6}{5}}\,\!} 熵 ln ( b − a ) {\displaystyle \ln(b-a)\,\!} 矩生成函数 e t b − e t a t ( b − a ) {\displaystyle {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}\,\!} 特征函数 e i t b − e i t a i t ( b − a ) {\displaystyle {\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}\,\!} 定义 一个均匀分布在区间[a,b]上的连续型随机变量 X {\displaystyle X} 可给出如下函数： 概率密度函数： f ( x ) = { 1 b − a for a ≤ x ≤ b 0 elsewhere {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a\leq x\leq b\\0&{\mbox{elsewhere}}\end{matrix}}\right.} 累积分布函数： F ( x ) = { 0 for x < a x − a b − a for a ≤ x < b 1 for x ≥ b {\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a\leq x<b\\1&{\mbox{for }}x\geq b\end{matrix}}\right.} MGF： M X ( t ) = E ( e t x ) = e t b − e t a t ( b − a ) {\displaystyle M_{X}(t)=E(e^{tx})={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}} 公式 期望值和中值： 是指连续型均匀分布函数的期望值和中值等于区间[a,b]上的中间点。 E [ X ] = a + b 2 {\displaystyle E[X]={\frac {a+b}{2}}} 方差： V A R [ X ] = ( b − a ) 2 12 {\displaystyle VAR[X]={\frac {(b-a)^{2}}{12}}} 均匀分布具有下属意义的等可能性。若 X ∼ U [ a , b ] {\displaystyle X\sim U[a,b]} ,则X落在[a,b]内任一子区间[c,d]上的概率： P ( c ≤ x ≤ d ) = F ( d ) − F ( c ) = ∫ c d 1 b − a d x = d − c b − a {\displaystyle P(c\leq x\leq d)=F(d)-F(c)=\int _{c}^{d}{\frac {1}{b-a}}\,dx={\frac {d-c}{b-a}}} 只与区间[c,d]的长度有关，而与它的位置无关。
![[a,b]\,\!](/media/math_img/1264/08268f073d76e500a09a309a45bcc9f19e599db4.svg)
内的值
![[a,b]](/media/math_img/1264/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg)
![X\sim U[a,b]](/media/math_img/1264/b5d509fb56e608a786132dbf75361145b770d13b.svg)
