基变更

Rⁿ 的平常基是 ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\cdots ,{\vec {e}}_{n}\}}$ ，这里的 ${\displaystyle {\vec {e}}_{j}=(0,\cdots ,1,0,\cdots ,0)}$  是 Rⁿ 的元素，在第 j 个位置上都是1，其他地方都是 0。

如果 T : Rⁿ → R^m 是线性变换，T 的 m × n 矩阵是对于 ${\displaystyle j=1,\cdots ,n}$  其第 j 纵列是 ${\displaystyle T({\vec {e}}_{j})\,}$  的矩阵 t。在这种情况下我们有 ${\displaystyle T({\vec {x}})=\mathbf {t} {\vec {x}}}$  对于所有 Rⁿ 中的 x，这里我们把 x 当作列向量，在右侧的乘法是矩阵乘法。在线性代数中一个基本事实是从 Rⁿ 到 R^m 的所有线性变换的向量空间 Hom(Rⁿ, R^m) 自然的同构在 R 上的 m × n 矩阵的空间 R^{m × n}；就是说线性变换 T : Rⁿ → R^m 对于所有目的和用途都等价于它的矩阵 t。

我们还利用下列简单的观察。

定理：设 V 和 W 是向量空间，设 ${\displaystyle \{\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\}}$  是 V 的基，并设 ${\displaystyle \{\gamma _{1},\cdots ,\gamma _{n}\}}$  是任何 W 中的 n 个向量。则存在一个唯一的线性变换 T : V → W ，对于 ${\displaystyle j=1,\cdots ,n}$  有 ${\displaystyle T(\alpha _{j})=\gamma _{j}\,}$ 。

这个唯一的 T 定义自 ${\displaystyle T(x_{1}\alpha _{1}+\cdots +x_{n}\alpha _{n})=x_{1}\gamma _{1}+\cdots +x_{n}\gamma _{n}}$ 。当然，如果 ${\displaystyle \{\gamma _{1},\cdots ,\gamma _{n}\}}$ 碰巧是 W 的基，则 T 是双射又是线性的；换句话说，T 是同构。如果在这种情况下我们还有 W = V，则 T 被称为是自同构。

现在设 V 在 R 上的向量空间并假设 ${\displaystyle \{\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\}}$  是 V 的基。通过定义，如果 ξ 是 V 中的向量，则 ${\displaystyle \xi =x_{1}\alpha _{1}+\cdots +x_{n}\alpha _{n}}$  是 ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$  在 R 中唯一标量选择，被叫做 ξ 相对于有序基 ${\displaystyle \{\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\}}$  的坐标。 Rⁿ 中的向量 ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})}$  被叫做 ξ (相对于这个基)的坐标元组。唯一的线性映射 φ : Rⁿ → V，对于 ${\displaystyle j=1,\cdots n}$  有 ${\displaystyle \phi ({\vec {e}}_{j})=\alpha _{j}\,}$ ，它被称为对 V 和基 ${\displaystyle \{\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\}}$  的坐标同构。所以 ${\displaystyle \phi ({\vec {x}})=\xi \,}$  当且仅当 ${\displaystyle \xi =x_{1}\alpha _{1}+\cdots +x_{n}\alpha _{n}}$ 。

我们实现检查在 V 中的向量 ξ 的坐标在选择了另一个基的时候怎样变更的问题。假设 ${\displaystyle \{\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\}}$  和 ${\displaystyle \{\alpha '_{1},\cdots ,\alpha '_{n}\}}$  是 V 的两个基。设 φ₁ 和 φ₂ 是从 Rⁿ 到 V 的对应的坐标同构就是说 ${\displaystyle \phi _{1}({\vec {e}}_{j})=\alpha _{j}\,}$  而 ${\displaystyle \phi _{2}({\vec {e}}_{j})=\alpha '_{j}\,}$  对于 ${\displaystyle j=1,\cdots ,n}$ 。如果 ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})}$  是 ξ 关于第一个基的坐标 n-元组，因此 ${\displaystyle \xi =\phi _{1}({\vec {x}})\,}$ ，则 ξ 关于第二个基的坐标元组是 ${\displaystyle \phi _{2}^{-1}(\xi )=\phi _{2}^{-1}(\phi _{1}{\vec {x}}))}$ 。现在映射 ${\displaystyle \phi _{2}^{-1}\circ \phi _{1}}$  是在 Rⁿ 上的自同构，因此有一个矩阵 p。此外， p 的第 j 纵列是 ${\displaystyle \phi _{2}^{-1}\circ \phi _{1}({\vec {e}}_{j})=\phi _{2}^{-1}(\alpha _{j})}$ ，就是说，${\displaystyle \alpha _{j}\,}$  关于第二个基 ${\displaystyle \{\alpha '_{1},\cdots ,\alpha '_{n}\}}$  的坐标 n-元组。所以 ${\displaystyle {\vec {y}}=\phi _{2}^{-1}(\phi _{1}({\vec {x}}))=\mathbf {p} {\vec {x}}}$  是 ξ 关于基 ${\displaystyle \{\alpha '_{1},\cdots ,\alpha '_{n}\}}$  的坐标 n-元组。

现在假设 T : V → W 是线性变换，{α₁, ..., α_n} 是 V 的一个基而 {β₁, ..., β_m} 是 W 的一个基。设 φ 和 ψ 分别是 V 和 W 的相对于给定基的坐标同构。则映射 T₁ = ψ^-1 o T o φ 是从 Rⁿ 到 R^m 的线性变换，并因此有一个矩阵 t；它的第 j 纵列是 ψ^-1(T(α_j)) 对于 j = 1, ..., n。这个矩阵叫做T 关于有序基 {α₁, ..., α_n} 和 {β₁, ..., β_m} 的矩阵。如果 η = T(ξ) 并且 y 和 x 是 η 和 ξ 的坐标元组，则 y = ψ^-1(T(φ(x))) = tx。反过来，如果 ξ 在 V 中，而 x = φ^-1(ξ) 是 ξ 关于 {α₁, ..., α_n} 的坐标元组，我们设置 y = tx 和 η = ψ(y)，则 η = ψ(T₁(x)) = T(ξ)。就是说，如果 ξ 在 V 中而 η 在 W 中并且 x 和 y 是它们的坐标元组，则 y = tx 当且仅当 η = T(ξ)。

定理：假设 U, V 和 W 是有限维的向量空间并为每个选择了有序基。如果 T : U → V 和 S : V → W 是有矩阵 s 和 t 的线性变换，则线性变换 S o T : U → W (关于给定基)的矩阵是 st。

基的变更

现在我们要问 T : V → W 的矩阵在变更在 V 和 W 的基的时候发生了什么。设 {α₁, ..., α_n} 和 {β₁, ..., β_m} 分别是 V 和 W 的有序基，并假设给予了第二对基 {α'₁, ..., α'_n} 和 {β'₁, ..., β'_m}。设 φ₁ 和 φ₂ 是从在 Rⁿ 中的平常基到 V 的第一个和第二个基的坐标同构，并设 ψ₁ 和 ψ₂ 是从在 R^m 中的平常基到 W 的第一个和第二个基的同构。

令 ${\displaystyle T_{1}=\psi _{1}^{-1}\circ T\circ \phi _{1}}$ ，并令 ${\displaystyle T_{2}=\psi _{2}^{-1}\circ T\circ \phi _{2}}$ （两者都从 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  映至 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ）。令 ${\displaystyle \mathbf {t} _{1}}$  与 ${\displaystyle \mathbf {t} _{2}}$  为相应的矩阵。令 ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$  分别为对应到基变更自同构 ${\displaystyle \phi _{2}^{-1}\circ \phi _{1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$  与 ${\displaystyle \psi _{2}^{-1}\circ \psi _{1}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$  的矩阵。

由于我们有 ${\displaystyle T_{2}=\psi _{2}^{-1}\circ T\circ \phi _{2}=(\psi _{2}^{-1}\circ \psi _{1})\circ T_{1}\circ (\phi _{1}^{-1}\circ \phi _{2})}$ ，又因为线性映射的合成对应到矩阵乘法，遂得到

${\displaystyle \mathbf {t} _{2}=\mathbf {q} \mathbf {t} _{1}\mathbf {p} ^{-1}}$ 

线性变换的矩阵的一个重要情形是自同态的矩阵，亦即从一个向量空间 ${\displaystyle V}$  至其自身的线性映射，换言之就是 W = V 的情形。我们可以自然地取基 {β₁, ..., β_n} = {α₁, ..., α_n} 与 {β'₁, ..., β'_m} = {α'₁, ..., α'_n}。此时线性映射 T 的矩阵必为方阵。

基的变更

套用同样的基变更，使得 q = p，而基变更公式遂写成

t₂ = p t₁ p^-1.

在此情形下，可逆矩阵 p 被称为向量空间 V 的基变更矩阵，而上述等式言明 t₁ 与 t₂ 是相似矩阵。

于域 R 的向量空间 V 上的双线性形式是一个映射 V × V → R，使得它对两个参数都是线性的，也就是说

${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$ 

${\displaystyle v\mapsto B(w,v)}$ 

对任何固定的 w 都是线性的。此定义可推广至于交换环的模，此时须将线性映射换为模同态。

对应于基 ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$  的 Gram 矩阵 G 定义为

${\displaystyle G_{i,j}=B(\alpha _{i},\alpha _{j})\,}$ .

若 v, w 以此基表成

${\displaystyle v=\sum _{i}x_{i}\alpha _{i}}$ 

${\displaystyle w=\sum _{i}y_{i}\alpha _{i}}$ 

则该双线性形式由下式给出

${\displaystyle B(v,w)=x^{\top }Gy\,}$  .

若 B 是对称双线性形式，则对应的矩阵会是对称矩阵。

基的变更

若矩阵 P 表示从 ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$  至 ${\displaystyle \alpha '_{1},\dots ,\alpha '_{n}}$  的基变更，则两组基的 Gram 矩阵依下式变换：

${\displaystyle G'=P^{\top }GP\,}$ 

• MIT Linear Algebra Lecture on Change of Bases（页面存档备份，存于互联网档案馆） at Google Video, from MIT OpenCourseWare