矩阵分析

数域 F 下的所有 m×n 矩阵构成向量空间 M_mn(F)。数域 F 包括有理数ℚ、实数ℝ、复数ℂ等。当 ${\displaystyle m\neq p}$  或 ${\displaystyle n\neq q}$  时，空间 M_mn(F) 和 M_pq(F) 不一致，例如 M₃₂(F) ≠ M₂₃(F)。

两个 m×n 的矩阵 A 和 B 在空间 M_mn(F) 相加可以得到空间 M_mn(F) 下的一个新矩阵：

${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \in M_{mn}(F)\,,\quad \mathbf {A} +\mathbf {B} \in M_{mn}(F)}$ 

与数域 F 中的数 α 相乘，也可以得到空间 M_mn(F) 下的矩阵：

${\displaystyle \alpha \in F\,,\quad \alpha \mathbf {A} \in M_{mn}(F)}$ 

以上两条性质可以总结为：在矩阵空间 M_mn(F) 下的两个矩阵 A 和 B 线性组合可以得到空间 M_mn(F) 下的一个新矩阵：

${\displaystyle \alpha \mathbf {A} +\beta \mathbf {B} \in M_{mn}(F)}$ 

其中 α 和 β 是数域 F 中的数。

所有矩阵都可以表示为基矩阵的线性组合，这些基矩阵起到类似于基向量的作用。例如，对于实数域下的 2×2 矩阵空间 M₂₂(ℝ)，一组可行的基矩阵可以是：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$ 

因为所有的 2×2 矩阵均可以表示为：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$ 

其中 a, b, c,d 均为实数。这个思路也可以推广到高维矩阵空间下。

行列式是方阵的重要性质之一，它可以指示一个矩阵是否可逆。矩阵的行列式被用于计算特征值、求解线性方程组等方面。

一个 ${\displaystyle n\times n}$  矩阵的特征值 ${\displaystyle x}$  和特征向量 ${\displaystyle \lambda }$  定义为：

${\displaystyle Ax=\lambda x}$ 

也就是说，一个矩阵乘以它的特征向量相当于它的特征值乘以特征向量。一个 ${\displaystyle n\times n}$  的矩阵有 n 个特征值，它们是矩阵特征多项式的根：

${\displaystyle p_{\mathbf {A} }(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0}$ 

其中 ${\displaystyle \mathbf {I} }$  为 ${\displaystyle n\times n}$  的单位矩阵。

如果两个${\displaystyle n\times n}$ 的矩阵${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 可以用相似变换联系起来，则两个矩阵相似：

${\displaystyle \mathbf {B=PAP} ^{-1}}$ 

可逆矩阵${\displaystyle \mathbf {P} }$ 被称为相似变换矩阵。

酉相似