单应性

在计算机视觉领域中，空间中同一平面的任意两幅图像通过单应性关联在一起（假定是针孔相机）。比如,一个物体可以通过旋转相机镜头获取两张不同的照片(这两张照片的内容不一定要完全对应,部分对应即可),我们可以把单应性设为一个二维矩阵M,那么照片1乘以M就是照片2。 这有着很多实际应用，比如图像校正、图像对齐或两幅图像之间的相机运动计算（旋转和平移）等。一旦旋转和平移从所估计的单应性矩阵中提取出来，那么该信息将可被用来导航或是把3D物体模型插入到图像或视频中，使其可根据正确的透视来渲染，并且成为原始场景的一部分（请见增强现实）。

如果两幅图像之间的相机运动只有旋转而没有平移，那么这两幅图像通过单应性关联在一起（假定是针孔相机）。

3D的平面到平面公式

我们有两个相机a和b，这两个相机都向某平面中的点${\displaystyle P_{i}}$ 看去。

把${\displaystyle P_{i}}$ 的投影从b中的${\displaystyle {}^{b}p_{i}}$ 转换到a中的点${\displaystyle {}^{a}p_{i}}$ ：

${\displaystyle {}^{a}p_{i}=K_{a}\cdot H_{ba}\cdot K_{b}^{-1}\cdot {}^{b}p_{i}}$ 

其中${\displaystyle H_{ba}}$ 是

${\displaystyle H_{ba}=R-{\frac {tn^{T}}{d}}}$ 

${\displaystyle R}$ 是旋转矩阵，通过该矩阵b关于a旋转；t是从a到b的平移向量；n和d分别是平面的法向量和相机到平面的距离。

K_a和K_b是相机的内参数矩阵。

此图显示相机b在距离d处看向平面。

提示：从上图中可知，${\displaystyle n^{T}P_{i}}$ 是向量${\displaystyle P_{i}}$ 到${\displaystyle n^{T}}$ 的投影，且等于d。因此${\displaystyle {\frac {tn^{T}}{d}}P_{i}=t}$ 。而且我们有${\displaystyle H_{ba}P_{i}=RP_{i}-t}$ 。

齐次坐标以矩阵乘的方式来表示射影变换，因为使用笛卡儿坐标的话，矩阵乘无法执行透视射影所必需的除法运算。换句话说，透视射影在笛卡儿坐标下不是线性变换。

给定：

${\displaystyle p_{a}={\begin{bmatrix}x_{a}\\y_{a}\\1\end{bmatrix}},p_{b}^{\prime }={\begin{bmatrix}w^{\prime }x_{b}\\w^{\prime }y_{b}\\w^{\prime }\end{bmatrix}},\mathbf {H} _{ab}={\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}&h_{13}\\h_{21}&h_{22}&h_{23}\\h_{31}&h_{32}&h_{33}\end{bmatrix}}}$ 

则：

${\displaystyle p_{b}^{\prime }=\mathbf {H} _{ab}p_{a}\,}$ 

其中：

${\displaystyle \mathbf {H} _{ba}=\mathbf {H} _{ab}^{-1}.}$ 

也即：

${\displaystyle p_{b}=p_{b}^{\prime }/w^{\prime }={\begin{bmatrix}x_{b}\\y_{b}\\1\end{bmatrix}}}$ 

当要计算单应性的图像区域比较小，或者图像要求焦距较长时，仿射单应性是更合适的模型。仿射单应性是广义单应性中的一种，它的最后一行固定为

${\displaystyle h_{31}=h_{32}=0,\;h_{33}=1.}$ 

• 外极几何
• W曲线

• M. Lourakis' homest （页面存档备份，存于互联网档案馆） is a GPL C/C++ library for robust, non-linear (based on the Levenberg-Marquardt algorithm) homography estimation from matched point pairs. homest can estimate fully projective and affine homographies with a variety of objective functions.
• OpenCV is a complete (open and free) computer vision software library that has many routines related to homography estimation (cvFindHomography) and re-projection (cvPerspectiveTransform). Download and documentation information is on the OpenCV Wiki.
• Computing the plane to plane homography （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• How to compute a homography （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• MATLAB Functions for Multiple View Geometry （页面存档备份，存于互联网档案馆） Matlab functions for calculating a homography and the fundamental matrix