旋转矩阵

设 ${\displaystyle \mathbf {M} }$  是任何维的一般旋转矩阵: ${\displaystyle \mathbf {M} \in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ 

• 两个向量的点积(内积)在它们都被一个旋转矩阵操作之后保持不变:

${\displaystyle \mathbf {a} ^{\top }\cdot \mathbf {b} =\mathbf {(Ma)} ^{\top }\cdot \mathbf {M} \mathbf {b} }$ 

• 从而得出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵：

${\displaystyle \mathbf {M} \,\mathbf {M} ^{-1}=\mathbf {M} \,\mathbf {M} ^{\top }={\mathcal {I}}}$     这里的 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$  是单位矩阵。

• 一个矩阵是旋转矩阵，当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是1。正交矩阵的行列式是 ±1；如果行列式是 −1，则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵。

• 旋转矩阵是正交矩阵，如果它的列向量形成 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  的一个正交基，就是说在任何两个列向量之间的标量积是零(正交性)而每个列向量的大小是单位一(单位向量)。

• 任何旋转矩阵可以表示为斜对称矩阵 A的指数:

${\displaystyle \mathbf {M} =\exp(\mathbf {A} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\mathbf {A} ^{k}}{k!}}}$ 

这里的指数是以泰勒级数定义的而 ${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$  是以矩阵乘法定义的。矩阵A叫做旋转的“生成元”。旋转矩阵的李代数是它的生成元的代数，它就是斜对称矩阵的代数。生成元可以通过 M 的矩阵对数来找到。

在二维空间中，旋转可以用一个单一的角 ${\displaystyle \theta }$  定义。作为约定，正角表示逆时针旋转。把笛卡尔坐标的列向量关于原点逆时针旋转 ${\displaystyle \theta }$  的矩阵是:

${\displaystyle M(\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&-\sin {\theta }\\\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{bmatrix}}=\cos {\theta }{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+\sin {\theta }{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\right)}$ 

在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是 θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。

3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个实数就可以指定一个 3 维旋转矩阵。

旋转

生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。

• 绕 x-轴的主动旋转定义为:

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{x}(\theta _{x})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos {\theta _{x}}&-\sin {\theta _{x}}\\0&\sin {\theta _{x}}&\cos {\theta _{x}}\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta _{x}{\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}}\right)}$  这里的 ${\displaystyle \theta _{x}}$  是 roll 角，和右手螺旋的方向相同（在yz平面逆时针）。

• 绕 y-轴的主动旋转定义为:

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{y}(\theta _{y})={\begin{bmatrix}\cos {\theta _{y}}&0&\sin {\theta _{y}}\\0&1&0\\-\sin {\theta _{y}}&0&\cos {\theta _{y}}\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta _{y}{\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}\right)}$  这里的 ${\displaystyle \theta _{y}}$  是 pitch 角，和右手螺旋的方向相同（在zx平面逆时针）。

• 绕 z-轴的主动旋转定义为:

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{z}(\theta _{z})={\begin{bmatrix}\cos {\theta _{z}}&-\sin {\theta _{z}}&0\\\sin {\theta _{z}}&\cos {\theta _{z}}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta _{z}{\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\right)}$  这里的 ${\displaystyle \theta _{z}}$  是 yaw 角，和右手螺旋的方向相同（在xy平面逆时针）。

在飞行动力学中，roll, pitch 和 yaw 角通常分别采用符号 ${\displaystyle \gamma }$ , ${\displaystyle \alpha }$ , 和 ${\displaystyle \beta }$ ；但是为了避免混淆于欧拉角这里使用符号 ${\displaystyle \theta _{x}}$ , ${\displaystyle \theta _{y}}$  和 ${\displaystyle \theta _{z}}$ 。

任何 3 维旋转矩阵 ${\displaystyle {\mathcal {M}}\in \mathbb {R} ^{3\times 3}}$  都可以用这三个角 ${\displaystyle \theta _{x}}$ , ${\displaystyle \theta _{y}}$ , 和 ${\displaystyle \theta _{z}}$  来刻画，并且可以表示为 roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积。

${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  是在 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3\times 3}\,}$  中的旋转矩阵 ${\displaystyle \Leftrightarrow \,\exists \,\theta _{x},\theta _{y},\theta _{z}\in [0\ldots \pi ):\,{\mathcal {M}}={\mathcal {R}}_{z}(\theta _{z})\,{\mathcal {R}}_{y}(\theta _{y})\,{\mathcal {R}}_{x}(\theta _{x})}$ 

在 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  中所有旋转的集合，加上复合运算形成了旋转群 SO(3)。这里讨论的矩阵接着提供了这个群的群表示。更高维的情况可参见 Givens旋转。

角-轴表示和四元数表示

在三维中，旋转可以通过单一的旋转角 ${\displaystyle \theta }$  和所围绕的单位向量方向 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}=(x,y,z)}$  来定义。

${\displaystyle {\mathcal {M}}({\hat {\mathbf {v} }},\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta +(1-\cos \theta )x^{2}&(1-\cos \theta )xy-(\sin \theta )z&(1-\cos \theta )xz+(\sin \theta )y\\(1-\cos \theta )yx+(\sin \theta )z&\cos \theta +(1-\cos \theta )y^{2}&(1-\cos \theta )yz-(\sin \theta )x\\(1-\cos \theta )zx-(\sin \theta )y&(1-\cos \theta )zy+(\sin \theta )x&\cos \theta +(1-\cos \theta )z^{2}\end{bmatrix}}}$ 

这个旋转可以简单的以生成元来表达:

${\displaystyle {\mathcal {M}}({\hat {\mathbf {v} }},\theta )=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\\\end{bmatrix}}\right)}$ 

在运算于向量 r 上的时候，这等价于Rodrigues旋转公式：

${\displaystyle {\mathcal {M}}\cdot \mathbf {r} =\mathbf {r} \,\cos(\theta )+{\hat {\mathbf {v} }}\times \mathbf {r} \,\sin(\theta )+({\hat {\mathbf {v} }}\cdot \mathbf {r} ){\hat {\mathbf {v} }}(1-\cos(\theta ))}$ 

角-轴表示密切关联于四元数表示。依据轴和角，四元数可以给出为正规化四元数 Q:

${\displaystyle Q=(xi+yj+zk)\sin(\theta /2)+\cos(\theta /2)\,}$ 

这里的 i, j 和 k 是 Q 的三个虚部。

欧拉角表示

在三维空间中，旋转可以通过三个欧拉角 ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$  来定义。有一些可能的欧拉角定义，每个都可以依据 roll, pitch 和 yaw 的复合来表达。依据 "x-y-z" 欧拉角，在右手笛卡尔坐标中的旋转矩阵可表达为:

${\displaystyle {\mathcal {M}}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\mathcal {R}}_{z}(\gamma ){\mathcal {R}}_{y}(\beta ){\mathcal {R}}_{x}(\alpha )}$ 

进行乘法运算生成:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}(\alpha ,\beta ,\gamma )&={\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \gamma \cos \beta &-\sin \gamma &\cos \gamma \sin \beta \\\sin \gamma \cos \beta &\cos \gamma &\sin \gamma \sin \beta \\-\sin \beta &0&\cos \beta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \gamma \cos \beta &-\sin \gamma \cos \alpha +\cos \gamma \sin \beta \sin \alpha &\sin \gamma \sin \alpha +\cos \gamma \sin \beta \cos \alpha \\\sin \gamma \cos \beta &\cos \gamma \cos \alpha +\sin \gamma \sin \beta \sin \alpha &-\cos \gamma \sin \alpha +\sin \gamma \sin \beta \cos \alpha \\-\sin \beta &\cos \beta \sin \alpha &\cos \beta \cos \alpha \end{bmatrix}}\end{aligned}}}$ 

对称保持 SVD 表示

对旋转轴 ${\displaystyle q}$  和旋转角 ${\displaystyle \theta }$ ，旋转矩阵

${\displaystyle {\mathcal {M}}=qq^{T}+QGQ^{T}}$ 

这里的 ${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}q_{1},&q_{2}\end{bmatrix}}}$  的纵列张开正交于 ${\displaystyle q}$  的空间而 ${\displaystyle G}$  是 ${\displaystyle \theta }$  度 Givens 旋转，就是说

${\displaystyle G={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$ 

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• Rotation matrices at Mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆）