射影表示

在表示论中，群 ${\displaystyle G}$ 在域 ${\displaystyle F}$ 上的向量空间 ${\displaystyle V}$ 上的射影表示指从${\displaystyle G}$到射影线性群${\displaystyle PGL}$的一个群同态

${\displaystyle G\to \mathrm {PGL} (V):=\mathrm {GL} (V)/F^{*}}$

其中 ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ 表示在域${\displaystyle F}$上向量空间 ${\displaystyle V}$ 的可逆线性变换构成的一般线性群，而 ${\displaystyle F^{*}}$ 视为标量积映射 ${\displaystyle v\mapsto cv}$，其中 ${\displaystyle c\in F^{*}}$。

若 ${\displaystyle V}$ 维度有限，选定基底后可将 ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ 理解为 ${\displaystyle \mathrm {PGL} (n,F)}$，即 ${\displaystyle n\times n}$ 阶可逆矩阵对正规子群 ${\displaystyle F^{*}\cdot \mathrm {id} _{V}}$ 之商群。

对于给定的群表示 ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (V)}$，与商映射 ${\displaystyle p:\mathrm {GL} (V)\to \mathrm {PGL} (V)}$ 合成后可得到一个射影表示。较常探讨的是逆向的问题：如何将一个射影表示 ${\displaystyle {\bar {\rho }}:G\to \mathrm {PGL} (V)}$ 提升至一个表示 ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (V)}$，使得 ${\displaystyle p\circ \rho ={\bar {\rho }}}$？

对于提升问题，通常采取如下进路：取同态 ${\displaystyle {\bar {\rho }}:G\to \mathrm {PGL} (V)}$ 与 ${\displaystyle p:\mathrm {GL} (V)\to \mathrm {PGL} (V)}$ 的纤维积，得到一个中心扩张

${\displaystyle 1\to F^{*}\to {\tilde {G}}\to \mathrm {GL} (V)\to 1}$

其中 ${\displaystyle {\tilde {G}}=\{(g,M)\in G\times \mathrm {GL} (V)|p(M)=\rho (g)\}}$。

这类扩张由群上同调 ${\displaystyle H^{2}(\mathrm {GL} (V),F^{*})}$ 分类。若此扩张是平凡的，则 ${\displaystyle {\bar {\rho }}}$ 可提升至 ${\displaystyle G}$ 的表示。即使此表示无法提升，仍可退而求其次，藉群上同调研究扩张的性质，例如：扩张对应的上同调类 ${\displaystyle \alpha \in H^{2}(\mathrm {GL} (V),F^{*})}$ 满足 ${\displaystyle n\alpha =0}$ 当且仅当 ${\displaystyle {\bar {\rho }}}$ 可提升为某个中心扩张 ${\displaystyle 1\to \mathbf {\mu } _{n}\to {\hat {G}}\to \mathrm {GL} (V)\to 1}$ 的 ${\displaystyle {\hat {G}}}$ 的表示。