上同调维数

代数中，上同调维数是群的不变量，量度群的表示的同调复杂度。上同调维数在几何群论、拓扑学、代数数论中有重要应用。

群的上同调维数

就如大多数的同调及上同调不变量，上同调维数涉及选取“系数环”R，最常见的特例是整数环R = Z。设G是离散群，R是非零有单位元的环，RG是其群环。群G的上同调维数小于或等于n，记为cdR(G) ≤ n，若平凡RG-模R有一个长为n的投射分解，也就是有投射RG-模P0, …, Pn，及RG-模同态dk: Pk→Pk − 1(k = 1, …, n)和d0: P0→R，使得对k = 1, …, n，dk的像正是dk − 1的核，且dn有平凡核。

等价地，群G的上同调维数小于或等于n，若对任何RG-模M，G以M为系数的上同调于阶k > n时消失，即Hk(G,M) = 0。

若n是最小的整数使得群G的上同调维数小于或等于n，则G的（系数R的）上同调维数等于n，记为n = cdR(G)。

例子

以下例子中系数环R为Z。

  • 自由群的上同调维数等于1。按斯托林斯－斯旺（Stallings–Swan）定理，这性质完全描述了自由群。
  • 除球面外，一个紧致连通可定向的黎曼曲面的基本群的上同调维数等于2。
  • 更一般而言，一个n维的紧致连通可定向的非球面流形的基本群的上同调维数等于n。
  • 非平凡有限群的上同调维数为无限。

参见

参考

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