多极展开

在静电学里，设定电荷密度分布 ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$  ，则其产生的电势 ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$  为

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V'} }{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$  ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} }$  是场位置，${\displaystyle \mathbf {r} '}$  是源位置，${\displaystyle \mathbb {V'} }$  是积分的体积区域。

假设体积区域 ${\displaystyle \mathbb {V'} }$  是在以原点为圆心、半径为 ${\displaystyle R}$  的圆球内部，则在圆球以外，电势 ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$  可以多极展开。文献里常见到两种电势的多极展开方法。一种展开为直角坐标 ${\displaystyle (x,y,z)}$  的泰勒级数，称为“笛卡儿多极展开”（Cartesian multipole expansion）；另一种是用距离倒数的幂和球谐函数展开，是以球坐标表示，称为“球多极展开”（spherical multipole expansion）。

笛卡儿多极展开

任意函数 ${\displaystyle f(\mathbf {r} ')}$  在原点 ${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {O} }$  的泰勒级数为

${\displaystyle f(\mathbf {r} ')=f(\mathbf {O} )+\mathbf {r} '\cdot \nabla 'f(\mathbf {O} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}r'_{\alpha }r'_{\beta }{\frac {\partial ^{2}f(\mathbf {O} )}{\partial r'_{\alpha }\partial r'_{\beta }}}+\dots }$  ；

其中，${\displaystyle \nabla '}$  是对于 ${\displaystyle \mathbf {r} '}$  的偏微分。

设定 ${\displaystyle f(\mathbf {r} ')={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$  ，则 ${\displaystyle f(\mathbf {r} ')}$  对于 ${\displaystyle \mathbf {r} '}$  的偏微分为

${\displaystyle {\frac {\partial f(\mathbf {r} ')}{\partial r'_{\alpha }}}={\frac {(r_{\alpha }-r'_{\alpha })}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$  、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(\mathbf {r} ')}{\partial r'_{\alpha }\partial r'_{\beta }}}={\frac {3(r_{\alpha }-r'_{\alpha })(r_{\beta }-r'_{\beta })}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{5}}}-{\frac {\delta _{\alpha \beta }}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$  ；

其中，${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}$  是克罗内克记号。

所以 ${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$  在原点 ${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {O} }$  的泰勒级数为

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}&={\frac {1}{r}}+{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} '}{r^{3}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}\left({\frac {3r_{\alpha }r_{\beta }}{r^{5}}}-{\frac {\delta _{\alpha \beta }}{r^{3}}}\right)r'_{\alpha }r'_{\beta }+\dots \\&={\frac {1}{r}}+{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} '}{r^{3}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}\left({\frac {3r_{\alpha }r_{\beta }r'_{\alpha }r'_{\beta }-r^{2}r'_{\alpha }r'_{\beta }\delta _{\alpha \beta }}{r^{5}}}\right)+\dots \\&={\frac {1}{r}}+{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} '}{r^{3}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}\left({\frac {3r_{\alpha }r_{\beta }r'_{\alpha }r'_{\beta }-r_{\alpha }r_{\beta }r^{\prime 2}\delta _{\alpha \beta }}{r^{5}}}\right)+\dots \\\end{aligned}}}$  。

将这展开式代入电势的方程式，则可得到

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V'} }\left[{\frac {1}{r}}+{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} '}{r^{3}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}{\frac {r_{\alpha }r_{\beta }(3r'_{\alpha }r'_{\beta }-r^{\prime 2}\delta _{\alpha \beta })}{r^{5}}}+\dots \right]\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$  。

总电荷（电单极矩） ${\displaystyle q}$  、电偶极矩 ${\displaystyle \mathbf {p} }$  、电四极矩（ electric quadrupole moment） ${\displaystyle Q_{\alpha \beta }}$  分别以方程式定义为^[1]

${\displaystyle q{\stackrel {def}{=}}\ \int _{\mathbb {V'} }\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$  、

${\displaystyle \mathbf {p} {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\mathbb {V'} }\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$  、

${\displaystyle Q_{\alpha \beta }{\stackrel {def}{=}}\ \int _{\mathbb {V'} }(3r'_{\alpha }r'_{\beta }-r^{\prime 2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$  。

则电势的电单极矩、电偶极矩、电四极矩等等“笛卡儿多极矩”项目的总贡献为

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{r}}+{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{r^{3}}}+{\frac {1}{2r^{5}}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}Q_{\alpha \beta }r_{\alpha }r_{\beta }+\dots \right)}$  。

球多极展开

场位置与源位置之间距离的倒数，${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$  ，可以用球谐函数 ${\displaystyle Y_{\ell m}}$  展开为^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\ {\frac {r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),\qquad r'<r}$  ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} }$  与 ${\displaystyle \mathbf {r} '}$  的球坐标分别为${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$  与 ${\displaystyle (r',\theta ',\phi ')}$  。

将这展开式代入电势的方程式，则可得到

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{((2\ell +1)r^{\ell +1}}}\int _{\mathbb {V'} }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')r^{\prime \ell }\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$  。

电荷分布的球多极矩 ${\displaystyle q_{\ell m}}$  以方程式定义为

${\displaystyle q_{\ell m}{\stackrel {def}{=}}\ \int _{\mathbb {V'} }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')r^{\prime \ell }\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$  。

则电势可以以球多极矩表示为

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {q_{\ell m}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{(2\ell +1)r^{\ell +1}}}}$  。

注意到 ${\displaystyle q_{\ell (-m)}=(-1)^{m}q_{\ell m}^{*}}$  。以下列出几个最低阶的球多极矩的表达式，以及与笛卡儿多极矩之间的关系^[1]：

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{00}&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\ q\\q_{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r'\sin {\theta '}\ e^{-i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\ (p_{x}-ip_{y})\\q_{10}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r'\cos {\theta }\ \rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\ p_{z}\\q_{22}&={\sqrt {\frac {15}{32\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}\sin ^{2}{\theta '}\ e^{-2i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\sqrt {\frac {15}{288\pi }}}\ (Q_{11}-2iQ_{12}-Q_{22})\\q_{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}\sin {\theta '}\cos {\theta '}\ e^{-i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {15}{72\pi }}}\ (Q_{13}-iQ_{33})\\q_{20}&={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}(3\cos ^{2}{\theta '}-1)\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\ Q_{33}\end{aligned}}}$  。

多极展开式的特性

对于多极展开式的每一阶 ${\displaystyle \ell }$  ，笛卡儿多极展开会得到 ${\displaystyle (\ell +1)(\ell +2)/2}$  个笛卡儿多极矩，而球多极展开会得到 ${\displaystyle 2\ell +1}$  个球多极矩。这是因为两种展开各自具有不同的旋转变换属性。笛卡儿多极矩是可约的（reducible）；而球多极矩则是不可约的，这种分解能够得到旋转群的不可约表示。

在多极展开式里，不等于零的最低阶多极矩，其数值与原点的选择无关。例如，对于在 ${\displaystyle \mathbb {V'} }$  内部、位置为 ${\displaystyle \mathbf {r} '_{0}}$  的单独点电荷，电荷密度可以写为 ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')=q\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{0})}$  。这单独点电荷的电单极矩为 ${\displaystyle \int _{\mathbb {V'} }q\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{0})\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=q}$  ，与原点位置无关。

对于在 ${\displaystyle \mathbb {V'} }$  内部、位置分别为 ${\displaystyle \mathbf {r} '_{1}}$  、${\displaystyle \mathbf {r} '_{2}}$  的两个异电性、同电量的点电荷，电荷密度可以写为 ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')=q[\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{1})-\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{2})]}$  。这单独点电荷的电单极矩为 ${\displaystyle \int _{\mathbb {V'} }q[\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{1})-\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{2})]\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=0}$  。最低阶多极矩为电偶极矩 ${\displaystyle \int _{\mathbb {V'} }\mathbf {r} 'q[\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{1})-\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{2})]\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=q(\mathbf {r} '_{1}-\mathbf {r} '_{2})}$  。这电偶极矩与原点位置无关，与两个点电荷之间的相对位置有关。

假设处于外电势 ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$  的电荷密度分布 ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$  ，则其电能 ${\displaystyle U}$  为

${\displaystyle U=\int _{\mathbb {V} }\rho (\mathbf {r} )\Phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }$  。

注意到外电场 ${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi }$  ，外电势 ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$  在原点 ${\displaystyle \mathbf {O} }$  的泰勒级数为

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=\Phi (\mathbf {O} )+\mathbf {r} \cdot \nabla \Phi (\mathbf {O} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}r_{\alpha }r_{\beta }{\frac {\partial ^{2}\Phi (\mathbf {O} )}{\partial r_{\alpha }\partial r_{\beta }}}+\dots \\&=\Phi (\mathbf {O} )-\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} (\mathbf {O} )-{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}r_{\alpha }r_{\beta }{\frac {\partial E_{\beta }(\mathbf {O} )}{\partial r_{\alpha }}}+\dots \\\end{aligned}}}$  。

由于外电场的散度为零 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0}$  ，电势可以写为

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\Phi (\mathbf {O} )-\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} (\mathbf {O} )-{\frac {1}{6}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}(3r_{\alpha }r_{\beta }-r^{2}\delta _{\alpha \beta }){\frac {\partial E_{\beta }(\mathbf {O} )}{\partial r_{\alpha }}}+\dots }$  。

将这方程式代入电能的积分式，可以得到

${\displaystyle U=q\Phi (\mathbf {O} )-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} (\mathbf {O} )-{\frac {1}{6}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}Q_{\alpha \beta }{\frac {\partial E_{\beta }(\mathbf {O} )}{\partial r_{\alpha }}}+\dots }$  。

从这里可以看到电能的成分：第一个项目是点电荷处于外电势的电能、第二个项目是电偶极子处于外电场的电能、第三个项目是电四极子处于具有梯度的外电场所涉及的电能。

在静磁学里，设定电流密度分布 ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ')}$  ，则其产生的磁向量势 ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$  为

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}$  ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} }$  是场位置，${\displaystyle \mathbf {r} '}$  是源位置。

将前面推导出的 ${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$  在原点 ${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {O} }$  的泰勒级数带入磁向量势方程式，则可得到

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V'} }\left[{\frac {1}{r}}+{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} '}{r^{3}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}{\frac {r_{\alpha }r_{\beta }(3r'_{\alpha }r'_{\beta }-r^{\prime 2}\delta _{\alpha \beta })}{r^{5}}}+\dots \right]\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$  。

由于在静磁学里 ${\displaystyle \nabla '\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ')=0}$ ，

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {V} '}J_{\alpha }(\mathbf {r} ')\,d^{3}\mathbf {r} '&=\int _{\mathbb {V} '}[\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla ']r'_{\alpha }\,d^{3}\mathbf {r} '=\int _{\mathbb {V} '}\nabla '\cdot [r'_{\alpha }\mathbf {J} (\mathbf {r} ')]-r'_{\alpha }\nabla '\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ')\,d^{3}\mathbf {r} '\\&=\int _{\mathbb {V} '}\nabla '\cdot [r'_{\alpha }\mathbf {J} (\mathbf {r} ')]\,d^{3}\mathbf {r} '\\\end{aligned}}}$  ；

应用高斯散度定理，由于电流密度分布 ${\displaystyle \mathbf {J} }$  是局部的，假若积分体积 ${\displaystyle \mathbb {V} '}$  足够大，则位于包含积分体积的曲面 ${\displaystyle \mathbb {S} '}$  的电流密度分布为零：

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} '}J_{\alpha }(\mathbf {r} ')\,d^{3}\mathbf {r} '=\int _{\mathbb {S} '}r'_{\alpha }\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\cdot \,d\mathbf {S} '=0}$  。

所以，磁单极子项目 ${\displaystyle \int _{\mathbb {V} '}J_{\alpha }(\mathbf {r} ')\,d^{3}\mathbf {r} '}$  等于零。

磁偶极子项目不等于零。首先，应用高斯散度定理和电流密度分布的局部性这事实，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {V} '}\nabla '\cdot [r'_{\alpha }r'_{\beta }J(\mathbf {r} ')]\,d^{3}\mathbf {r} '&=\int _{\mathbb {V} '}r'_{\beta }[J(\mathbf {r} ')\cdot \nabla ']r'_{\alpha }+r'_{\alpha }[J(\mathbf {r} ')\cdot \nabla ']r'_{\beta }+r'_{\alpha }r'_{\beta }\nabla '\cdot J(\mathbf {r} ')\,d^{3}\mathbf {r} '\\&=\int _{\mathbb {V} '}r'_{\beta }J_{\alpha }(\mathbf {r} ')+r'_{\alpha }J_{\beta }(\mathbf {r} ')\,d^{3}\mathbf {r} '\\&=0\\\end{aligned}}}$  。

注意到以下关系式：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} \cdot \int _{\mathbb {V'} }\mathbf {r} 'J_{\alpha }(\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&={\frac {1}{2}}\sum _{\beta =1}^{3}r_{\beta }\int _{\mathbb {V'} }r'_{\beta }J_{\alpha }(\mathbf {r} ')-r'_{\alpha }J_{\beta }(\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\\&=-\ {\frac {1}{2}}\left[\mathbf {r} \times \int _{\mathbb {V'} }\mathbf {r} '\times \mathbf {J} (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\right]_{\alpha }\\\end{aligned}}}$  。

定义磁偶极矩 ${\displaystyle \mathbf {m} }$  为

${\displaystyle \mathbf {m} {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {r} '\times \mathbf {J} (\mathbf {r} ')\,d^{3}\mathbf {r} '}$  。

只取至最低阶项目，即磁偶极矩项目，则磁向量势 ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$  为

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\mathbf {m} \times \mathbf {r} }{r^{3}}}}$  。

多极展开在数值模拟领域用途很多。对于相互作用的粒子组成的物理系统，快速多极法（fast multipole method）是高效率运算这系统的能量与作用力常使用的一种方法^[2]。快速多极法就是建构于格林函数的多极展开。这方法的基本点子是分解所有粒子为几个小群，每一个小群内的粒子正常地互相作用（即通过全部势能），而小群与小群之间的互相作用则是由其多极矩计算求得。快速多极矩法的效率通常与伊沃德求和法（Ewald summation）等同，但是假若系统的粒子具有高度群聚性，即高密度涨落，则快速多极矩法比较优等。

• 圆柱多极矩（cylindrical multipole moment）
• 四极磁铁（quadrupole magnet）：粒子加速器内部的一个配件
• 拉普拉斯展开（位势论）（Laplace expansion (potential)）
• 勒让德多项式