1-形式

在线性代数中，1-形式（one-form）是向量空间上的一种线性泛函。1-形式在这种向量空间语境中的使用方式，通常区别于高阶的多重线性泛函中的1-形式。细节参见线性泛函。

在三维欧几里得空间里，1-形式 α、 β 与它们的和是线性泛函，向量 u、 v与 w也是线性泛函。任意向量穿插过的任意1-形式超平面等于两者的内积。^[1]

在微分几何中，可微流形上的1-形式是余切丛的一个光滑截面。具体说来，流形 M 上的1-形式是M 的切丛的全空间到 R 的一个光滑映射，限制在每个纤维上是切空间上的线性泛函。用符号表示，

${\displaystyle \alpha :TM\rightarrow {\mathbf {R} },\quad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M\rightarrow {\mathbf {R} },\,}$

这里 α_x 是线性的。

1-形式经常局部地描述，特别是在一个局部坐标中。在一个局部坐标系中，1-形式是坐标的微分的线性组合：

${\displaystyle \alpha _{x}=f_{1}(x)dx^{1}+f_{2}(x)dx^{2}+\dots +f_{n}(x)dx^{n}.\,}$

这里 f_i 是光滑函数。注意这里使用上指标，不要与幂混淆。从这种观点来看，一个 1-形式从一个坐标系变到另一个时有共变变换法则。从而一个 1-形式是秩 1 共变张量场。