李纳-维谢势

经典电动力学的研究，关键地助导阿尔伯特·爱因斯坦发展出相对论。爱因斯坦细心地分析李纳-维谢势和电磁波传播，所累积的心得，引领他想出在狭义相对论里对于时间和空间的概念。经典电动力学表述是一个重要的发射台，使得物理学家能够飞航至更复杂的相对论性粒子运动的学术领域。

虽然经典电动力学表述的李纳-维谢势，可以很准确地描述，独立移动中的带电粒子的物理行为，但是在原子层次，这表述遭到严峻的考验，无法给出正确地答案。为此缘故，物理学家感到异常困惑，因而引发了量子力学的创立。

对于粒子发射电磁辐射的能力，量子力学又添加了许多新限制。经典电动力学表述，表达于李纳-维谢势的方程，明显地违背了实验观测到的现象。例如，经典电动力学表述所预测的，环绕着原子不停运动的电子，由于连续不断地呈加速度状态，应该会不停地发射电磁辐射；但是，实际实验观测到的现象是，稳定的原子不会发射任何电磁辐射。经过研究论证，物理学家发现，电磁辐射的发射完全源自于电子轨域的离散能级的跃迁（参阅玻尔原子）。在二十世纪后期，经过多年的改进与突破，量子电动力学成功地解释了带电粒子的放射行为。

假设，从源头位置${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$ 往检验位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 发射出一束电磁波，而这束电磁波在检验时间${\displaystyle t\,\!}$ 抵达观测者的检验位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ ，则这束电磁波发射的时间是推迟时间${\displaystyle t_{r}\,\!}$ 。由于电磁波传播于真空的速度是有限的，观测者检验到电磁波的检验时间${\displaystyle t\,\!}$ ，会不同于这电磁波发射的推迟时间${\displaystyle t_{r}\,\!}$ 。推迟时间 ${\displaystyle t_{r}\,\!}$ 定义为检验时间${\displaystyle t\,\!}$ 减去电磁波传播的时间：

${\displaystyle t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle c\,\!}$ 是光速。

推迟时间的概念意味着电磁波的传播不是瞬时的。电磁波从发射位置传播到终点位置，需要一段传播期间，称为时间延迟。与日常生活的速度来比，电磁波传播的速度相当快。因此，对于小尺寸系统，这时间延迟，通常很难察觉。例如，从开启电灯泡到这电灯泡的光波抵达到观测者的双眼，所经过的时间延迟，只有几兆分之一秒。但是，对于大尺寸系统，像太阳照射阳光到地球，时间延迟大约为8分钟，可以经过实验侦测察觉。

表达方程

假设，一个移动中的带电粒子，所带电荷为${\displaystyle q\,\!}$ ，随着时间${\displaystyle t\,\!}$ 而改变的运动轨道为${\displaystyle \mathbf {w} (t)\,\!}$ 。设定向量${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\,\!}$ 为从带电粒子位置${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t)\,\!}$ 到检验位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 的分离向量：

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} '=\mathbf {r} -\mathbf {w} (t)\,\!}$ 。

则李纳-维谢标势${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ 和李纳-维谢矢势${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ 分别以方程表达为

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {qc}{{\mathfrak {R}}c-{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {v} }}\,\!}$ 、

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$ 是真空电容率，${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 是带电粒子的移动速度，${\displaystyle \mathbf {v} (t)={\frac {d\mathbf {w} }{dt}}\,\!}$ 。

虽然李纳-维谢标势${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ 和李纳-维谢矢势${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ 的时间参数是${\displaystyle t\,\!}$ ，方程右手边的几个变数，带电粒子位置${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$ 和速度${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 都是采推迟时间${\displaystyle t_{r}\,\!}$ 时的数值：

${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$ 、

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} (t_{r})\,\!}$ 。

推导

从推迟势，可以推导出李纳-维谢势。推迟标势${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ 与推迟矢势${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ 分别以方程定义为（参阅推迟势）

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$ 、

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\,\!}$ 和${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})\,\!}$ 分别是推迟时刻的电荷密度和电流密度，${\displaystyle {\mathcal {V}}'\,\!}$ 是积分的体空间，${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$ 是微小体元素，${\displaystyle {\mathfrak {R}}\,\!}$ 向量还是采推迟时间${\displaystyle t_{r}\,\!}$ 时的数值。

带电粒子运动轨道的电荷密度可以用狄拉克δ函数表达为

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,\,t)=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {w} (t))\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {w} (t))\,\!}$ 是狄拉克δ函数。

代入推迟标势${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ 的方程，

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$ 。

由于狄拉克δ函数${\displaystyle \delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))\,\!}$ 的积分会从${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$ 的可能值中，挑选出当${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$ 时，所有变数的数值。所以，在积分内的变数，都可以被提出积分，采推迟时间${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$ 时所计算出的数值。积分内，只剩下狄拉克δ函数等待进一步处理：

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$ 。

由于推迟时间${\displaystyle t_{r}\,\!}$ 跟三个变数${\displaystyle t\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$ 有关，这积分比较难计算，需要使用换元积分法^[4]。设定变数${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$ 。那么，其雅可比行列式${\displaystyle {\mathfrak {J}}\,\!}$ 为

${\displaystyle {\mathfrak {J}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {\eta }}}{\partial \mathbf {r} '}}={\begin{vmatrix}{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial z'}}\\{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial z'}}\\{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial z'}}\\\end{vmatrix}}\,\!}$ 。

行列式内分量很容易计算，例如：

${\displaystyle {\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial x'}}=1-{\cfrac {\partial w_{x}}{\partial x'}}=1-{\cfrac {\partial w_{x}}{\partial t_{r}}}\ {\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}=1-v_{x}{\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}\,\!}$ 、

${\displaystyle {\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial x'}}={\cfrac {\partial w_{y}}{\partial x'}}={\cfrac {\partial w_{y}}{\partial t_{r}}}\ {\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}=v_{y}{\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}\,\!}$ 。

按照上述方法，经过一番计算，可以得到

${\displaystyle {\mathfrak {J}}=1-\mathbf {v} \cdot \nabla 't_{r}=1-{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\cdot \mathbf {v} /c\,\!}$ 。

所以，推迟标势${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ 的方程变为

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}\delta ({\boldsymbol {\eta }}){\cfrac {\partial \mathbf {r} '}{\partial {\boldsymbol {\eta }}}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\cfrac {\delta ({\boldsymbol {\eta }})}{\mathfrak {J}}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\cfrac {\delta ({\boldsymbol {\eta }})}{1-{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\cdot \mathbf {v} /c}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}\,\!}$ 。

这样，可以得到李纳-维谢标势：

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {qc}{{\mathfrak {R}}c-{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {v} }}\,\!}$ 。

类似地，也可以推导出李纳-维谢矢势。

相对论性导引

从推迟势的表达式可以看出它只依赖于推迟时刻源点的速度，而不依赖于源点的加速度，所以通过电磁势的洛仑兹变换也可以推导出李纳-维谢势。考虑一个在推迟时刻瞬时速度与电荷运动速度相同的惯性系，记作${\displaystyle S^{\prime }}$ 。在${\displaystyle S^{\prime }}$ 系中，电荷在推迟时刻的速度为零（虽然加速度未必为零），其标势应由库仑定律给出，矢势为零。^[5][6]:165ff

${\displaystyle \phi '={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'}}}$ 、

${\displaystyle A'=0}$ 。

标势和矢势从${\displaystyle S^{\prime }}$ 系到${\displaystyle S}$ 系的变换满足洛仑兹变换：

${\displaystyle \phi =\gamma (\phi '-c\beta A')}$ 、

${\displaystyle A=\gamma (-A'+\beta \phi '/c)}$ ；

其中，${\displaystyle \gamma }$ 是洛仑兹因子，${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c}$ 。

代入后可以得到：

${\displaystyle \phi ={\frac {\gamma q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'}}}$ 、

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\frac {\gamma q{\boldsymbol {\beta }}}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'c}}}$ 。

${\displaystyle {\mathfrak {R}}'}$ 和${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ 的变换关系也由洛仑兹变换给出：

${\displaystyle {\mathfrak {R}}'=c\Delta t'=c\gamma (\Delta t-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}/c)=\gamma ({\mathfrak {R}}-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {R}}})}$ 

将${\displaystyle {\mathfrak {R}}'}$ 的表达式代入即得到李纳-维谢势。

物理意义

对于固定不动的带电粒子，电势的方程为

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q}{\mathfrak {R}}}\,\!}$ 。

这是李纳-维谢标势乘以雅可比行列式因子${\displaystyle {\mathfrak {J}}\,\!}$ 。追根究柢，原因是移动中的带电粒子，虽然理论上是点粒子，但是由于它是在移动中，在积分里所占有的体积显得比较大，所带的电荷因此比较多，所以产生的电势不同。这也可以看作是一种多普勒效应。^[5]

移动中的带电粒子的电磁场

从李纳-维谢势，可以计算电场${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$ 和磁场${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$ ：

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\!}$ 、

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,\!}$ 。

求得的电场${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$ 和磁场${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$ 分别为^[7]

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\cfrac {\mathfrak {R}}{({\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {u} )^{3}}}[(c^{2}-v^{2})\mathbf {u} +{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\times (\mathbf {u} \times \mathbf {a} )]\,\!}$ 、

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{c}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$  ;

其中，向量${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$ 设定为${\displaystyle c{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}-\mathbf {v} \,\!}$ ，带电粒子的加速度是${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\,\!}$ 。

检查电场${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$ 的方程，右边第一项称为广义库仑场，又称为速度场，因为这项目与加速度无关。当${\displaystyle v\ll c\,\!}$ ，粒子速度超小于光速时，${\displaystyle \mathbf {u} \to c{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\,\!}$ ，这项目会趋向库仑方程：

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\,\!}$ 。

右边第二项称为辐射场，又称为加速度场，因为这项目的物理行为主要是由粒子的加速度决定。这个项目能够描述电磁辐射的生成程序。

• 电磁波方程
• 非齐次的电磁波方程
• 杰斐缅柯方程
• 拉莫方程
• 阿布拉罕-洛伦兹力
• 电磁场的数学表述

1. ^ Marc Jouguet, La vie et l'oeuvre scientifique de Alfred-Marie Liénard, Exposé fait en séance mensuelle de la Société française des Electriciens, le 4 décembre, 1958 [2009-10-17], （原始内容存档于2009-07-06） 
2. ^ Mulligan, Joseph F., Emil Wiechert（1861–1928）: Esteemed seismologist, forgotten physicist, American Journal of Physics, March, 69 (3): pp. 277–287  请检查|date=中的日期值 (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) 引文格式1维护：日期与年 (link)
3. ^ Ribarič, Marijan; Šušteršič, Luka, Expansion in terms of time-dependent, moving charges and currents, SIAM Journal on Applied Mathematics, June, 55 (3): pp. 593–624, doi:10.1137/S0036139992241972  请检查|date=中的日期值 (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) 引文格式1维护：日期与年 (link)
4. ^ Griffiths, David; Heald, Mark, Time-Dependent Generalization of the Biot-Savart and Coulomb laws, American Journal of Physics, Feb., 59 (2): pp. 111–117  请检查|date=中的日期值 (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) 引文格式1维护：日期与年 (link)
5. ^ ^{5.0 5.1} 俞允强. 《电动力学简明教程》. 北京大学出版社. 1999: p298.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
6. ^ Bo Thide. Electromagnetic Field Theory. Dover Publications, Incorporated. 2011-03-17 [2016-06-26]. ISBN 978-0-486-47773-2. （原始内容存档于2016-06-10）. 
7. ^ Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 435–440. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)