指数映射 (李群)

设 ${\displaystyle M}$  为微分流形，${\displaystyle \nabla :TM\to T^{*}M\otimes TM}$  为其上的仿射联络。给定任一点 ${\displaystyle p\in M}$ 。根据常微分方程的基本理论，存在切空间 ${\displaystyle T_{p}M}$  中的开子集 ${\displaystyle U\ni p}$  及光滑映射 ${\displaystyle \gamma :U\times [0,2]\to M}$ ，使得：

• ${\displaystyle \gamma (0,-)=p}$ 
• 对每个 ${\displaystyle v\in U}$ ，映射 ${\displaystyle \gamma (v,-):[0,2]\to M}$  是测地线。
• 承上，${\displaystyle {\frac {d}{dt}}|_{t=0}\gamma (v,t)=v}$ 。

对够小的 ${\displaystyle U}$ ，映射 ${\displaystyle \gamma }$  是唯一的。定义点 ${\displaystyle p}$  的指数映射为

${\displaystyle \exp(w)=\gamma (w,1)\quad (w\in U)}$ 

由于常微分方程解的存在性只是局部性的，指数映射一般不能定义在整个 ${\displaystyle T_{p}M}$  上，在黎曼流形的情形，霍普夫-里诺定理给出了充要条件。此外，指数映射通常也不是满映射，而是 ${\displaystyle p}$  的一个邻域。黎曼流形上由指数映射给出的坐标系称作测地法坐标。

从几何上看，指数映射exp(p,v)是把切丛中的一个切向量v，映射到以(p,v)为初始条件的测地线从点p量起弧长等于|v|的点。

设 ${\displaystyle G}$  为李群，取定左、右不变之仿射联络，可得在整个李代数上定义的指数映射 ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to g}$ 。这是联系李代数与李群的主要工具。李群的指数映射满足下述性质：

• 若 ${\displaystyle [X,Y]=0}$ ，则 ${\displaystyle \exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)}$ ；对一般情形，左式可由 Campbell-Baker-Hausdorff 公式给出。
• ${\displaystyle \exp({\mathfrak {g}})}$  在群论的意义下生成 ${\displaystyle G}$ 。
• 设 ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$  为李群同态，${\displaystyle \phi _{*}}$  为它在单位元处的拉回作用，则我们有一交换图

• 重要的特例是 ${\displaystyle G=H}$  而 ${\displaystyle \phi =\mathrm {Ad} _{g}}$ （伴随作用），此时有
  • ${\displaystyle g(\exp X)g^{-1}=\exp(\mathrm {Ad} _{g}X)\,}$ 
  • ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{\exp X}=\exp(\mathrm {ad} _{X})\,}$ 

取 ${\displaystyle G=(\mathbb {R} ^{\times },\cdot )}$ ，相应者便是寻常的指数函数 ${\displaystyle x\mapsto e^x}${\displaystyle x\mapsto e^{x}}  。取 ${\displaystyle G=(\mathbb {R} ^{n},+)}$ ，相应者是恒等映射 ${\displaystyle \mathrm {id} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ 。

事实上，对复李群及任何完备域上的解析李群都能定义指数映射。

• Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992). ISBN 0-8176-3490-8. See Chapter 3.
• Jeff Cheeger and David G. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Elsevier (1975).