双球坐标系

在三维空间里，一个点 P 的双球坐标 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$  最常见的定义是

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi }$  、

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi }$  、

${\displaystyle z=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$  ；

其中，${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$  是直角坐标，${\displaystyle \sigma }$  坐标是 ${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}$  的弧度，${\displaystyle \tau }$  坐标是点 P 离两个焦点的距离 ${\displaystyle d_{1}}$  与 ${\displaystyle d_{2}}$  的比例的自然对数：

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$  。

坐标曲面

每一个红色的 ${\displaystyle \sigma }$ -坐标曲面都是包含了两个焦点 ${\displaystyle F_{1}}$  与 ${\displaystyle F_{2}}$  环面。，每一个环面的环心圆都不相同。这些环心圆都包含于 xy-平面。环小半径为

${\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$  。

当绝对值 ${\displaystyle \left|\sigma \right|}$  增加时，环小半径会减小，环心圆会靠近原点。当环心圆与原点同点时，${\displaystyle \left|\sigma \right|}$  达到最大值 ${\displaystyle \pi /2}$  。

每一个蓝色的 ${\displaystyle \tau }$ -坐标曲面都是不相交的圆球面。每一个圆球面都包围着一个焦点；圆球心都包含于 z-轴。圆球半径为

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a\coth \tau )^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$  。

它们的圆球心都包含于 z-轴。正值 ${\displaystyle \tau }$  的圆球面在 ${\displaystyle z>0}$  半空间；而负值 ${\displaystyle \tau }$  的圆球面在 ${\displaystyle z<0}$  半空间。${\displaystyle \tau =0}$  曲线则与 xy-平面同平面。当 ${\displaystyle \tau }$  值增加时，圆球面的半径会减少，圆球心会靠近焦点。

逆变换

双球坐标 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$  可以用直角坐标 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$  来表示。方位角 ${\displaystyle \phi }$  的公式为

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$  。

点 P 与两个焦点之间的距离是

${\displaystyle d_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}$  、

${\displaystyle d_{2}^{2}=x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}$  。

${\displaystyle \tau }$  是 ${\displaystyle d_{1}}$  与 ${\displaystyle d_{2}}$  的比例的自然对数：

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$  。

如图 3 ，${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}$  是两条从点 P 到两个焦点的线段 之间的夹角。这夹角的弧度是 ${\displaystyle \sigma }$  。用余弦定理来计算：

${\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}}$  。

标度因子

双球坐标 ${\displaystyle \sigma }$  与 ${\displaystyle \tau }$  的标度因子相等：

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$  。

方位角的标度因子为

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$  。

无穷小体积元素是

${\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sin \sigma }{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{3}}}d\sigma d\tau d\phi }$  。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma }}\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+\sin \sigma {\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin \sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]}$  。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$  ， ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$  ，都可以用 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$  坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

双球坐标有一个经典的应用，这是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程这类的偏微分方程式。在这些方程式里，双球坐标允许分离变数法的使用。一个典型的例题是，有两个不同半径的圆球导体，请问其周围的电位与电场为什么？应用双球坐标，我们可以精致地分析这个问题。

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