六面体

部分的六面体
Hexahedron.jpg
正方体
Pentagonal pyramid.png
五角锥
Tetragonal prism.png
四角柱
Triangular dipyramid.png
双三角锥

几何学中,六面体是指由组成的多面体。所有面都全等、所有边等长且所有角相等的六面体称为正六面体。几何学上的正六面体是立方体,由6个正方形组成,但在抽象几何学中有另外一种具有6个面的正多面体,是由6个正五边形组成的半十二面体,但其为抽象多胞形不具有体积。其他亦存在所有面都全等但其他条件未必符合正多面体的形状,例如双三角锥和菱形六面体。其他也存在许多不规则的六面体,例如四角锥台、五角锥等。

常见的六面体

常见的六面体有正方体四角柱五角锥双三角锥三方偏方面体

长方体

六个面都是矩形的六面体称为长方体,长方体具有每个二面角相等和每个三面角相等等特性。

平行六面体

六个面都是平行四边形的六面体称为平行六面体。当六个面都是菱形时,则具有等边多面体的性质,此时称为菱形六面体

六面体列表

名称 图像 顶点 面的种类 对称性 展开图
立方体
正多面体
  8 12 6 6个正方形  Oh, [4,3], (*432)
order 48
 
长方体   8 12 6 6个矩形  D2h, [2,2], (*222)
order 8
 
四角柱
柱体群
  8 12 6 2个四边形 
4个矩形 
D4h, [4,2], (*422), order 16
五角锥
锥体群
  6 10 6 1个五边形 
5个三角形 
C5v, [5], (*55)  
四角锥台   8 12 6 2个四边形 
4个梯形 
C4v, [4], (*44)
order 8
菱形六面体   8 12 6 6个菱形  D3d, [2+,6], (2*3)
order 12
三方偏方面体   8 12 6 6个四边形  D3, [2,3]+, (223)
order 6
双三角锥   5 9 6 6个三角形  D3h, [3,2], (*223) order 12  
平行六面体   8 12 6 6个平行四边形  Ci, [2+,2+], (×)
order 2
平行六面体
(由菱形组成)
 
十二面体半形   10 15 6 6个五边形  A5, order 60
皮特里正十二面体   20 30 6 6个扭歪十边形  A5×C2, with 120 elements
皮特里正二十面体   12 30 6 6个扭歪十边形 
六面形   2 6 6 6个二角形  D6h(*666)
二角反棱柱   4 8 6 2个二角形 
4个三角形
D2d, [2+,4], (2*2), order 8

非凸六面体

非凸六面体
 
面的种类:4.4.3.3.3.3
10条边、 6个顶点
 
面的种类:5.5.3.3.3.3
11条边、 7个顶点
 
面的种类:6.6.3.3.3.3
12条边、 8个顶点

退化六面体

部分六面体包含退化的面或者本身已经退化至无法拥有体积的形式。例如二角反棱柱,其2个底面为二角形,因此退化成一条棱、更进一步的退化六面体有六面形,其由6个二角形组成,本身已退化至无法拥有体积的形式,仅能以球面镶嵌的形式存在。

二角反棱柱

二角反棱柱,又称反二角柱是指底面为二角形的反棱柱,由于其两个底面皆为二角形,因此这两个面已退化成一条棱,若不计这两个退化的底面,则这个立体与四面体无异。在球面几何学中,二角反棱柱可以作为球面镶嵌,此时二角形的面能够在求面上已非退化的形式存在,而确保整个立体为六个面组成的立体,此时的二角反棱柱由2个球面二角形和4个球面三边形构成,共有6个面、8条边和4个顶点,并且可以视为扭棱的二面形或二角形二面体,在施莱夫利符号中可以用sr{2,2}来表示。

 
二角反棱柱。上方及下方红色的线段为退化的二角形底面。若不计这两个退化底面,则整个立体与四面体无异
 
作为球面镶嵌的二角反棱柱。计入二面形面时,二角反棱柱是一种六面体

六面形

 
六面形的球面镶嵌形式

六面形是一种多面形,为退化的六面体,无法拥有体积,由六个二角形组成。在球面几何学中,六面形可以在球面上以镶嵌的方式存在,表示六个镶嵌在球体上的球弓形英语Spherical lune施莱夫利符号中利用{2,6}来表示,其对偶多面体是六边形二面体

六面形由六个二角形组成,每个顶点都是六个二角形的公共顶点。正六面形的每个面都是正二角形,且每个顶点都是六个正二角形的公共顶点,因此正六面形也可以视为一种正多面体,但是因为其已退化,因此不会与帕雷托立体一同讨论。

六面形具有D6h, [2,6], (*226)的对称性和D6, [2,6]+的旋转对称性,且阶数为24,在考克斯特符号中用     表示,其对称性与六角柱相同,因此六角柱也可以视为一种与六面形相关的立体,因为六角柱可以经由六面形透过截角变换构造。

拓朴学中的六面体

在所有凸六面体当中,共有七种拓朴结构有明显差异的凸六面体[1][2][3][4][5] 。其中有2中互为镜射像

拓朴结构有明显差异的凸六面体
 
双三角锥
36
9 E, 5 V
  
四角反楔体。 有一个手性镜像
面的种类:4.4.3.3.3.3
10条边, 6个顶点
 
面的种类:4.4.4.4.3.3
11条边, 7个顶点
 
五角柱
面的种类:5.35
10条边, 6个顶点
 
面的种类:5.4.4.3.3.3
11条边, 7个顶点
 
面的种类:5.5.4.4.3.3
12条边, 8个顶点

参考文献

  1. ^ Anatole Beck, Michael Bleicher, Donald Crowe. Excursions into Mathematics: 29–30. 1969. 
  2. ^ Counting polyhedra页面存档备份,存于互联网档案馆) numericana.com [2016-1-10]
  3. ^ Martin Gardner. Denkspiele von anderen Planeten. München: Hugendubel. 1986: 134. ISBN 3-88034-295-4. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. (编). Hexahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  5. ^ Gardner, M. "Find the Hexahedrons." §19.9 in Martin Gardner's New Mathematical Diversions from Scientific American. New York: Simon and Schuster, pp. 224-225 and 233, 1966.

外部链接