闵可夫斯基时空

四维欧几里德时空

亨利·庞加莱在1905年至1906年间发现当将时间作为一个虚坐标ict（其中c为光速，i是虚数单位）并与三个表示空间的实坐标共同组成四维时空时，洛伦兹变换就可以看作是这一时空中的坐标旋转。^[4]狭义相对论可以保证这个量：

${\displaystyle -t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 

在两个惯性系间的坐标变换，也就是洛伦兹变换，前后保持不变。

注：此处及以下公式使用了几何单位制，即令c=1的单位制，所以在这种单位制下t和x,y,z量纲相同。

这里对于光速c依照庞加莱的做法做了归一处理。在由他提出的空间中，坐标空间是通过(t, x, y, z) ↦ (x, y, z, it)构造的。洛伦兹变换在坐标空间中作为普通的旋转变换保证

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}}$ 

不变。后一种表述可以让前面的表述更为容易理解^{[nb 3]}，但两式中t所表示的意义不同（前者表示的惯性系中测得的固有时间本身，后者表示的时间坐标）也可能会造成混淆。

无论是在坐标空间还是在实际的时空中，在由两个空间单位矢量确定的平面中的旋转就是通常意义上的旋转。不过当那个平面是由一个时间单位矢量以及一个空间单位矢量确定的时候，其中的“旋转”称作洛伦兹递升（英语：Lorentz boost），与欧几里德旋转就不那么相似了。

赫尔曼·闵可夫斯基基于这一构想在四维空间中重新阐释了麦克斯韦方程组，并展示了其在洛伦兹变换前后的不变性。^[5]他又进一步在四维空间中重新表述了爱因斯坦的狭义相对论，由此总结出时间与空间应该做相同的处理，并提出了事件是在一个统一的四维时空连续统中发生的概念。

闵可夫斯基空间

1908年，在有关“空间与时间”的讲座中，闵可夫斯基又利用另一种方式来阐释这种四维时空。^[6]他将虚的时间坐标替换为实的时间坐标，并利用一个四维实矢量空间来表述时空的四个自变量(x, y, z, t)。这个空间中的点与时空中的事件一一对应。在这个时空中还有一个特别的光锥。空间中不在光锥上的点可以依据它们与光锥的关系划分为“类空”或“类时”。这与现今对时空的认知基本一致。不过那种将时间作为虚坐标的做法由于某些原因仍在狭义相对论以及量子场论有所应用。将时间作为实坐标的闵可夫斯基空间与将时间作为虚坐标的四维欧几里德空间之间的转换叫作威克转动。^{[nb 4]}

在闵可夫斯基的论文中，下面定义的闵可夫斯基度规叫作“线元素”，涉及特定矢量正交性（他本人叫作“正规性”）的闵可夫斯基内积没有被命名，而闵可夫斯基范数平方则叫作“和”。

闵可夫斯基图是闵可夫斯基使用的一项重要的工具。他利用这一工具来定义概念并展示了洛伦兹变换的一些性质（比如固有时间和长度收缩），并提供了牛顿力学推广到相对论力学的几何解释。有关这些话题请参看相关条目。下面主要展示的主要是利用由时空流形上的时空间隔不变性得到的闵可夫斯基空间的数学结构（闵可夫斯基度规、由它推导出的量以及作为时空对称群的庞加莱群），不包括其具体应用以及时空间隔不变性的推导。这个数学结构提供了目前广义相对论以外所有相对论理论的背景。对于广义相对论，闵可夫斯基时空仍可作为局部平坦的弯曲时空的出发点。

闵可夫斯基本人对于他的这种重新阐释方法有着这样的评价：

我想要在从实验物理学土壤中勃发出的（理论）下埋置的时空观在那里拥有它自身的力量。它是激进的。自此，单是空间或是时间将隐没入阴影之中，只有它们的联合体才会维系着一个独立的现实。

——赫尔曼·闵可夫斯基，1908－1909^[6]

更进一步的历史方面的信息，请参阅Galison (1979), Corry (1997) and Walter (1999)。

下文中，时空将被赋以对应某个惯性系的坐标系。这样就可以得到一个的原点。这个原点在把时空构造为矢量空间的过程中很重要。尽管从物理意义来说这样的一个正则原点（时空的“中心”事件）并不需要存在。人们可以构造具有更简单结构的时空，比如仿射空间，但这会添加不必要的讨论，并且不能反映平坦空间目前是如何从数学上处理的。

总体而言，闵可夫斯基空间是一个四维实矢量空间。时空中每个点的切空间上具有非退化对称双线性形式，这里称作“闵可夫斯基内积”，度规符号差（英语：metric signature）为(+ − − −)或(− + + +)。每个事件的切空间是一个具有与时空相同维度的四维矢量空间。

切矢量

切空间在实际应用中可能并不会涉及。闵可夫斯基空间的切空间的性质可以让人们拥有利用闵可夫斯基空间本体里的矢量标示切空间中矢量的规范方法。例子请参见Lee (2003，Proposition 3.8.)。标识的过程通常是利用数学方法完成的。它们可以在直角坐标系中表示为：^[7]

${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})\leftrightarrow x^{0}\mathbf {e} _{0}|_{p}+x^{1}\mathbf {e} _{1}|_{p}+x^{2}\mathbf {e} _{2}|_{p}+x^{3}\mathbf {e} _{3}|_{p}\leftrightarrow x^{0}\mathbf {e} _{0}|_{q}+x^{1}\mathbf {e} _{1}|_{q}+x^{2}\mathbf {e} _{2}|_{q}+x^{3}\mathbf {e} _{3}|_{q},}$ 

其中切空间的基矢定义为：

${\displaystyle \mathbf {e} _{\mu }|_{p}=\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}{\text{ 或 }}\mathbf {e} _{0}|_{p}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}}\right){\text{等}}.}$ 

这里的p和q是任意的两个事件，后一种标示叫作平行移动。第一种标示是利用空间本体中的矢量来表示切空间中矢量的规范方法。切空间的基矢会出现一阶微分符号就是因为这种标示方式。这种标示方式得益于几何切矢量可以与一组平滑函数的方向导数一一对应。这使得流形中的切矢量的定义不必基于ℝⁿ。这种定义切矢量方式并不是唯一的。通过普通的n元矢量也可以定义切矢量。

p点处的切矢量有时还会以p点处的“位移矢量”表示，与上面规范标示方法基本相通。^[8]上述基于数学背景介绍的矢量表示方法可以在Misner，Thorne & Wheeler (1970)找到它们物理的或是更为具体的几何背景。

标准基底

闵可夫斯基时空的一组常用标准基底是四个互相正交的向量的集合(e₀, e₁, e₂, e₃) 使得

${\displaystyle -\left(e_{0}\right)^{2}=(e_{1})^{2}=(e_{2})^{2}=(e_{3})^{2}=1}$ 

这些条件可以更简要地写成如下形式：

${\displaystyle \langle e_{\mu },e_{\nu }\rangle =\eta _{\mu \nu }}$ 

其中μ与ν涵盖的数值有{0, 1, 2, 3}，矩阵η称为闵可夫斯基度规，数值为

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$ 

相对于一组标准基底，一向量${\displaystyle V}$  的分量可以写作${\displaystyle (V^{0},V^{1},V^{2},V^{3})}$ ，并且我们使用爱因斯坦标记来写${\displaystyle V=V^{\mu }e_{\mu }\,}$ 。分量${\displaystyle V^{0}}$ 称作${\displaystyle V}$  的“类时分量”(timelike component)，而其他三个分量则称作“类空分量”(spatial components)。

以分量来写，两个向量${\displaystyle V}$ 与${\displaystyle W}$ 间的内积可写成

${\displaystyle \langle V,W\rangle =\eta _{\mu \nu }V^{\mu }W^{\nu }=-V^{0}W^{0}+V^{1}W^{1}+V^{2}W^{2}+V^{3}W^{3}}$ ，

而一向量${\displaystyle V}$ 的范数(norm)平方值为

${\displaystyle V^{2}=\eta _{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }=-(V^{0})^{2}+(V^{1})^{2}+(V^{2})^{2}+(V^{3})^{2}\,}$ 。

四维矢量依据它们（闵可夫斯基）内积的正负号来区分。四维矢量${\displaystyle U}$ 、${\displaystyle V}$ 与${\displaystyle W}$ 可分类如下：

• ${\displaystyle V}$ 是类时(timelike)，当且仅当${\displaystyle \eta _{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }\,=V^{\mu }V_{\mu }<0}$ 
• ${\displaystyle U}$ 是类空(spacelike)，当且仅当${\displaystyle \eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }\,=U^{\mu }U_{\mu }>0}$ 
• ${\displaystyle W}$ 是零(null)或称类光(lightlike)，当且仅当${\displaystyle \eta _{\mu \nu }W^{\mu }W^{\nu }\,=W^{\mu }W_{\mu }=0}$ 

这样的术语源自于相对论中对于闵可夫斯基时空的使用。闵可夫斯基时空中一事件所有零向量的集合构成了该事件的光锥(light cone)。注意到这些标记的使用与参考系无关。

向量场被称作是类时、类空或零，是看场定义所在的各点，其所对应的向量是类时、类空或零。

关于零向量一个有用的结果：“若两个零向量${\displaystyle A\,}$ 、${\displaystyle B\,}$ 正交（即：零内积值${\displaystyle A\cdot B=A^{\mu }B_{\mu }=0}$ ），则它们必定是呈比例关系${\displaystyle A=kB\,}$ （${\displaystyle k\,}$ 为常数）。”

一旦时间方向选定了，类时向量与零向量可以再分为各种类别。以类时向量(timelike vector)来说，我们有

1. 未来方向(future directed)类时向量，其第一个分量为正。
2. 过去方向(past directed)类时向量，其第一个分量为负。

以零向量(null vector)来说，可分为三种类别：

1. 纯零向量(zero vector)，其在任何基底下，所有分量皆为(0,0,0,0)。
2. 未来方向零向量，其第一个分量为正，而其余分量为0。
3. 过去方向零向量，其第一个分量为负，而其余分量为0。

加上类空向量，全部共有六种类别。

闵可夫斯基时空中的正交归一基底(orthonormal basis)必然包含一个类时与三个类空的单位向量。若希望以非正交归一基底来做运算，则可有其他的向量组合。例如：可以轻松建构一种（非正交归一）基底，整个是由零向量所组成，称之为“零基底”(null basis)。

  维基共享资源上的相关多媒体资源：闵可夫斯基时空

• YouTube上的Animation clip visualizing Minkowski space in the context of special relativity.
• The Geometry of Special Relativity: The Minkowski Space - Time Light Cone