狄利克雷卷积

算术函数集上,可以定义一种二元运算,使得取这种运算为乘法,取普通函数加法为加法,使得算术函数集为一个交换。其中一种这样的运算便是狄利克雷卷积。它和一般的卷积有不少相类之处。

对于算术函数,定义其狄利克雷卷积

取狄利克雷卷积为运算,积性函数集是算术函数集的子

运算

  • 交换律 
  • 结合律 
  • 分配律 
  • 存在单位函数ε使得 。ε(n)的值为1若n=1,否则ε(n)=0。
  • 对于任意算术函数 ,若 不等于0,都有唯一的逆函数 ,使得 

 的值如下:

 
对于  

默比乌斯函数μ的逆函数为(一般意义上的)1,即对于  。这是默比乌斯反演公式的原理。

狄利克雷卷积得名于数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷。1857年约瑟夫·刘维尔曾发表了许多包含这个运算的恒等式。将它视为二元运算这个观点由埃里克·坦普尔·贝尔和M.奇波拉1915年提出。

导数

若定义 的“导数” ,可以发现这个运算和连续函数导数有不少相似的地方:

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级数

对于算术函数 ,定义其狄利克雷级数

 

对于一些算术函数的狄利克雷级数,它们的积,跟那些算术函数的狄利克雷卷积的狄利克雷级数是相等的:

 

这跟卷积定理很相似。

定义 贝尔级数

 

也有类似的关系:

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参考